Logic 戈德尔，埃舍尔，巴赫印刷数字理论（TNT）的难题和解决方案

在道格拉斯·霍夫斯塔德的《戈德尔、埃舍尔、巴赫》第8章中，读者面临着将这两种说法翻译成TNT的挑战：

“b是2的幂”

及

“b是10的幂”

以下答案正确吗

（假设'∃' 表示“存在一个数字”）：

∃x:（x.x=b）

i、 e.“存在一个数字‘x’，使得x乘以x等于b”

如果这是正确的，那么下一个问题同样微不足道：

∃x：（x.x.x.x.x.x.x.x.x.x=b）

---

我很困惑，因为作者指出这些问题很棘手，第二个问题需要几个小时才能解决；我肯定错过了一些明显的东西，但我看不到

您的表达式分别相当于“b是一个平方数”和“b是一个数的10次方”的语句。将“力量”语句转换为TNT要复杂得多。

如何：

∀x:∀y:（SSx）∙y=b→ ∃z:z∙SS0=SSx）

（英文：b的任何因子，即≥ 2本身必须能被2整除；字面意思：对于所有自然数x和y，如果（2+x）*y=b，那么这意味着存在一个自然数z，使得z*2=（2+x）。）

我不是100%确定这在和的语法中是允许的，我已经有一段时间没有阅读GEB了

（编辑：至少对于b=2n的问题；我可以理解为什么10n会更难，因为10不是素数。但是11n是一样的，除了用“SS0”替换一个术语“SS0”。

一般来说，我会说“b是2的幂”等于“b的除1之外的所有除数都是2的倍数”。即:

∀x((∃y（y*x=b和（x=S0）））→ ∃z（SS0*z=x））

编辑：这在10分钟内不起作用（谢谢你的评论）。但至少它适用于所有素数。很抱歉我认为你必须使用某种编码序列。我建议雷蒙德·斯穆利安（Raymond Smullyan）的《哥德尔不完全定理》（Gödel's Incomplentity Thermories），如果你想要更详细、更一般的方法来解决这个问题的话

或者，您可以使用中国剩余定理对数字序列进行编码，然后对递归定义进行编码，这样您就可以定义幂运算。事实上，这基本上就是证明Peano算法是图灵完备的方法

试试这个：

D(x,y)=∃a(a*x=y)
Prime(x)=¬x=1&∀yD(y,x)→y=x|y=1
a=b mod c = ∃k a=c*k+b

然后

∃Y∃k(
∀x（D（x，y）&素数（x）→-D（x*x，y））&
∀x（D（x，y）&素数（x）&∀z（Prime（z）&z我认为上面的大部分只表明b必须是4的倍数。这个呢：∃b:∀c:

我认为格式并不完美，但它的内容如下：

存在b，因此对于所有c，如果c是b的因子，c是素数，那么c等于2。
对于“b是10的幂”有一个解决方案《怀疑论科学家》帖子中扰流板按钮背后的问题。这取决于数论中的中国剩余定理，以及任意长素数算术序列的存在。正如霍夫斯塔特所指出的，即使你知道适当的定理，也不容易想出这个问题。
以下是我为国家提出的建议“b是2的幂”

∃b:∀a:~∃c:（（a*ss0）+sss0）*c=b

我认为这表示“存在一个数字b，因此对于所有的数字a，不存在一个数字c，使得（a*2）+3（换句话说，大于2的奇数）乘以c，得到b。”所以，如果b存在，并且不可能为零，并且它没有大于2的奇数因子，那么b不一定是1，2，或者2的另一个幂吗？
下面是我的想法：

∀c:∃d:

也就是说：

对于所有的数字c，都存在一个数字d，如果c乘以d等于b，那么c要么是1，要么存在一个数字e，使得d等于e乘以2

或

对于所有的数字c，都存在一个数字d，如果b是c的一个因子，而d是c的一个因子，那么c是1或者d是2的一个因子

或

如果两个数的乘积是b，那么其中一个数是1，或者其中一个数可以被2整除

或

b的所有除数不是1就是可被2整除

或

b是2的幂
对于表示b是2的幂的开放表达式，我有
∀a:~∃c:（S（Sa）∙ SS0）∙ Sc）=b

这实际上表明，对于所有a，S（Sa∙ SS0）不是b的一个系数。但在正常情况下，S（Sa∙ SS0）是
1+（（a+1）*2）
或
3+2a
。我们现在可以将该语句改写为“至少3的奇数都不是b的因子”。当且仅当b是2的幂时，这才是真的

我仍在研究b是10的幂的问题。
在表达“b是10的幂”时，实际上不需要中国的余数定理和/或有限序列的编码。你也可以按如下方式工作（我们使用常用符号如|，>，c-d，作为具有明显意义的公式/术语的快捷方式）：

对于素数p，让我们把tNT中的一些公式称为Exp（p，a），称“p是素数，A是p的幂”。我们已经知道，如何构造一个。（出于技术原因，我们不认为S0是P的幂，所以~EXP（p，s0））
。
如果p是素数，我们定义EXPp（c，a）≖ 〈EXP（p，a）∧ （c-1）|（a-1）〉. 这里，符号|是“除”的快捷方式，可以使用一个存在量词和乘法在TNT中轻松定义；c-1（a-1，resp.）也是如此，意思是“d使得Sd=c”（Sd=a，resp.）。

如果EXP（p，c）成立（即c是p的幂），那么公式EXPp（c，a）表示“a是c的幂”，因为a≡ 1（c-1型）然后

具有数字的属性p（即非负整数），有一种方法可以在TNT中引用具有此属性的最小数字：〈P（a）∧ ∀c:〈a> c→ ~P（a）〉〉.

我们可以陈述表示“b是10的幂”的公式（为了更好的可读性，我们省略了符号）〈 及〉, 我们写2和5而不是SS0和sss0）：

∃a:∃c:∃d:（实验（2，a）∧ 实验（5，c）∧ 实验（5，d）∧ d>b∧ A.⋅c=
∃y ∃k(
 ∀x(D(x,y)&Prime(x)→¬D(x*x,y)) &
 ∀x(D(x,y)&Prime(x)&∀z(Prime(z)&z<x→¬D(z,y))→(k=1 mod x)) &
 ∀x∀z(D(x,y)&Prime(x)&D(z,y)&Prime(z)&z<x&∀t(z<t<x→¬(Prime(t)&D(t,y)))→
  ∀a<x ∀c<z ((k=a mod x)&(k=c mod z)-> a=c*10))&
 ∀x(D(x,y)&Prime(x)&∀z(Prime(z)&z>x→¬D(z,y))→(b<x & (k=b mod x))))