Math 协方差矩阵的标度

对于这个问题，他在报告中说：

“如果您希望椭圆表示 特定水平的标准 偏差，正确的做法是 通过缩放协方差矩阵“

用于缩放的代码如下所示：

STD = 2;                     %# 2 standard deviations
conf = 2*normcdf(STD)-1;     %# covers around 95% of population
scale = chi2inv(conf,2);     %# inverse chi-squared with dof=#dimensions

Cov = cov(X0) * scale;
[V D] = eig(Cov);

我不理解上面代码片段的前3行。chi2inv（conf，2）是如何计算标度的？将其与协变量矩阵相乘的原理是什么

附加问题：

我还发现，如果我用1.5标准缩放它，即86%的平铺，椭圆可以覆盖所有的点，我的点集几乎在所有情况下都聚集在一起。另一方面，如果我用3标准，即99%的瓷砖来缩放它，椭圆就太大了。那么我如何选择一个STD来紧紧地覆盖聚集点呢

以下是一个例子：

内椭圆对应于1.5标准，外椭圆对应于2.5标准。为什么1.5标准紧密地覆盖成团的白点？是否有任何方法或理由来定义它

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在数据点周围显示椭圆的目的是显示置信区间，或者换句话说，“有多少数据与平均值在一定的标准偏差范围内”

在上面的代码中，他选择显示一个覆盖95%数据点的椭圆。对于正态分布，约67%的数据与平均值相差1s.d.，约95%在2s.d.范围内，约99%在3s.d.范围内（这些数字我不知道，但你可以通过计算曲线下的面积轻松验证这一点）。因此，值

STD=2

您会发现

conf

约为

0.95

数据点到数据质心的距离类似于

（xi^2+yi^2）^0.5

，忽略系数。随机变量的平方和遵循卡方分布，因此为了得到相应的95%值，他使用逆卡方函数，d.o.f.2，因为有两个变量

最后，将缩放常数相乘的基本原理来自这样一个事实，即对于具有特征值

a1，…，an，

，矩阵

kA的特征值，
k
是标量的矩阵
a
的特征值只是
ka1，…，kan
。特征值给出了椭圆长轴/短轴的相应长度，因此将椭圆或特征值缩放到95%平铺相当于将协方差矩阵与缩放因子相乘

编辑

程，虽然你可能已经知道这一点，但我建议你也读一读关于随机性的问题。考虑一个具有零均值、单位方差的高斯随机变量。此类随机变量集合的PDF如下所示


现在，如果我取两个这样的随机变量集合，分别求平方，然后将它们相加，形成一个新的随机变量集合，其分布如下所示


这是具有2个自由度的卡方分布（因为我们添加了两个集合）

上面代码中的椭圆方程可以写成
x^2/a^2+y^2/b^2=k
，其中
x
，
y
是两个随机变量，
a
和
b
是长轴/短轴，
k
是我们需要计算的一些比例常数。正如你所看到的，上面可以解释为平方和加上两组高斯随机变量，我们刚才看到了它的分布。所以，我们可以说，
k
是一个随机变量，是2个自由度的卡方分布

现在需要做的就是为
k
找到一个值，使95%的ile数据在其中。就像1s.d，2s.d，3s.d。我们熟悉高斯分布的百分位数，2个自由度的卡方分布的95%分位数约为6.18。这是Amro从
chi2inv
功能中获得的。他本可以写得很好的
scale=chi2inv（0.95,2）
，结果也一样。只是用
n
s.d.的术语来谈论偏离平均值是很直观的

为了举例说明，这里是上面卡方分布的PDF，95%的面积x

用红色阴影表示。该

x

为~6.18

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希望这有帮助。

@R.M.你比我领先一秒：）+1，这样你就可以投票选出你喜欢的答案。非常感谢。你帮了我很多。我想投票给你答案，但我是新来的，没有英国的名声。等我有足够的声誉时，我会投票表决。再次感谢。嗨，R.M.，我仍然不明白为什么逆卡方函数的输出可以是比例因子。STD=2时，逆卡方函数的输出为6.1801。我很好奇6.1801背后的含义。我想我们可以打电话。然后，原始特征值乘以sqrt（6.1801）进行缩放。我知道我们必须缩放特征值，但我真的想知道如何确定缩放因子。为什么我们可以这样决定。谢谢，谢谢你，R.M.你一定是一个统计学家和一个好的教育者，我在这方面很弱。你的答案很糟糕。如果你不知道生成这些点的过程的统计数据，你就不能真的假设它们是高斯分布。对我来说，这看起来就像你只是试图在一个物体周围拟合一个椭圆，类似于今天早些时候关于在物体周围拟合矩形的问题。这将属于图像处理和检测的范畴，我相信你使用了错误的方法。我建议从你的具体问题开始一个新问题，并将其标记为图像处理，这样那些在这些领域更有知识的人就会看到你的问题并可能回答它。