Math 查找算法的计算复杂性

算法：

for (int i = 0; i < 2*n; i += 2)  
    for (int j = n; j >i; j--)  
        foo();

我已经做了所有的工作，但我的方程式总是给出有点偏离的值：

当n=5时：录制的foo（）调用是9，但我的等式是6。
当n=6时：录制的foo（）调用是16，但我的等式是9

---

我做错了什么？

有时候经验方法很有效。看

#包括
整数计数（整数n）{
int i，j，乘以=0；
对于（i=0；i<2*n；i+=2）
对于（j=n；j>i；j--）
时代++；
返回次数；
}
int main（）{
int i；
对于（i=0；i<20；i++）
printf（“%2d%10d\n”，i，计数（i））；
返回0；
}
0         0
1         1
2         2
3         4
4         6
5         9
6        12
7        16
8        20
9        25
10        30
11        36
12        42
13        49
14        56
15        64
16        72
17        81
18        90
19       100

查看输出，您可以从T（n-1）、T（n-2）等生成T（n）的方式进行推断，并且可以编写T的递归定义。这似乎是您所采用的方法

通过尝试直接从输出中找出模式，您可能能够更快地获得一个封闭的模式。例如，我们从输出中看到：

• 当n为奇数时，T（n）为ceil（n/2）**2
• 当n为偶数时，T（n）为（n/2）*（n/2+1）

附录

我在代码板中添加了一点；看

---

这表明T（n）渐近收敛到n^2/4。这与你得到的答案一致。也许你是说你的结果“有点不对劲”，因为对于较小的n值，你看不到确切的n^2/4。这很好。重要的是，在极限情况下，复杂性为n^2/4。当然，你也可以说θ（n^2）…

总和有n/2+1项；i=0是第一项，i=n/2是最后一项

所以你应该有

总和（n）=（n/2+1）（n+n）/2

及

---

求和（f（x））=（n/2+1）（0+n）/2。

算法有道理，无法理解您的结果，请发布与您期望的结果不起作用的代码奇数应该是

（n+1）^2/4

，偶数应该是

n/2*（n/2+1）

。我所做的是使函数foo递增一个“ActualCount”整数。然后我将实际计数与复杂度方程n^2/4生成的结果进行比较。对于n=5的情况，实际计数是9，而我的等式是6；我明白了。不过，感谢您提出的替代方法建议，我会看看是否更喜欢它=）

# of foo() calls for the second loop as i changes:

1st loop:   n - 0
2nd loop:   n - 2
3rd loop:   n - 4
nth loop:   n - f(x); f(x) = last term +2; where f(0) = 0

  Total # calls = Summation(n - f(x)) from [i = 0] to [i = n/2 (where f(x) == n)]
= Summation(n) - summation(f(x))
= (n/2)(n+n)/2 - (n/2)(0 + n)/2
= n^2/2        - n^2/4
= n^2/4

#include <stdio.h>

int count(int n) {
  int i, j, times = 0;
  for (i = 0; i < 2 * n; i += 2)  
    for (j = n; j > i; j--)  
      times++;
  return times;
}

int main() {
  int i;
  for (i = 0; i < 20; i++)
    printf("%2d%10d\n", i, count(i)); 
  return 0;
}

 0         0
 1         1
 2         2
 3         4
 4         6
 5         9
 6        12
 7        16
 8        20
 9        25
10        30
11        36
12        42
13        49
14        56
15        64
16        72
17        81
18        90
19       100