Math 串联浮点运算的最大相对误差估计

根据下面的计算，我将估计最大相对误差δres，max：

// Pseudo code    
float a, b, c; // Prefilled IEEE 754 floats with double precision    
res = a / b * c;

res=a*（1+δa）/（b*（1+δb））*（1+δa/b）*c*（1+δc）*（1+δa/b*c）

=a/b*c*（1+δa）/（1+δb）*（1+δa/b）*（1+δc）*（1+δa/b*c）

=a/b*c*（1+δres）

=>δres=（1+δa）/（1+δb）*（1+δa/b）*（1+δc）*（1+δa/b*c）-1

所有δs都在±ε/2的范围内，其中ε为2^-52

=>δres，max=（1+ε/2）^4/（1-ε/2）-1≈ 2.5*ε

这是一种有效的错误估计方法，可以用于基本浮点运算的每一种组合吗

附言：

是的，我读过“每一位计算机科学家都应该知道的浮点运算”。）

嗯，这可能是一种有效的方法。我不确定你是如何做到这最后一行的，但你的结论基本上是正确的（不过请注意，由于理论误差可能超过2.5e，实际上误差范围是3e）

是的，这是一种有效的方法，适用于这种形式的任何浮点表达式。然而，结果并不总是那么清晰。一旦混合使用了加法/减法，而不仅仅是乘法和除法，通常无法将精确表达式与错误乘法器清晰地分开。相反，您将看到输入项和错误项直接相乘，而不是这里令人愉快的相对恒定的界限

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作为一个有用的示例，请尝试推导

（a+b）-a

（假设

a

和

b

是精确的）。

谢谢您的回答，@sneftel！：）你所说的几乎有效的理论错误是什么意思？关于我的上一个等式：我用上界或下界替换δs，因此δres具有最大的可能值。“几乎有效”是因为，正如我所说，误差可以超过2.5e。顺便说一句，对于除法运算符，使用替代公式fl[a•b]=a•b/（1+δ）通常是有用的，这也是有效的，并且避免了那里发生的奇怪的除法。你介意解释一下吗，δ怎么会超过2.5e？为什么我允许在同一个等式中组合不同的浮点模型？考虑更简单的表达式<代码> FL（FL（A*B）*C）< /代码>。这可计算为

a*b*c*（1+d1）*（1+d2）

，或

a*b*c*（1+d1+d2+d1*d2）

。这个额外的多错误项将错误推到单个d的总和之上。至于你的第二个问题，我不确定你的意思。这是一个浮点模型，有两个不变量，你可以在证明事物时潜在地使用。你可能会发现一篇相关而有趣的论文：克劳德·皮埃尔·詹尼罗德和西格弗里德·拉姆普。“关于浮点运算的相对误差：最佳界限和应用。”（2016）感谢链接@njuffa！真有趣。：）现在我只对安全的错误界限感兴趣。如果必要的话，我的下一步就是收紧它们。