MATLAB中最有效的矩阵求逆

在MATLAB中计算某个方阵A的逆矩阵时，使用

Ai = inv(A)
% should be the same as:
Ai = A^-1

MATLAB通常会通知我，这不是最有效的反转方法。 那么什么更有效率呢？如果我有一个方程组，使用/，\运算符可能是。 但有时我需要其他计算的相反结果

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什么是反转最有效的方法？

我认为LU分解比反转更有效（如果使用旋转，可能更稳定）。如果需要求解多个右手边向量，它尤其有效，因为一旦有了LU分解，就可以根据需要对每个向量进行前后替换

我建议LU分解优于全逆。我同意MATLAB的说法

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更新：3x3矩阵？如果需要的话，你可以用手把它转换成封闭的形式。只需先检查行列式，确保它不是单数或近似单数。

如果没有一种聪明的方法来完成所有计算，而不显式形成逆，那么您必须使用“inv”函数。当然，你可以用你的矩阵和单位矩阵来解一个线性系统，但是这样做没有什么好处

我建议使用

svd

（除非您确实绝对确定您的矩阵没有病态）。然后，基于奇异值，您可以决定要采取的进一步行动。这听起来可能是一种“矫枉过正”的做法，但从长远来看，它会得到回报

现在，如果你的矩阵

A

实际上是可逆的，那么

A

的

伪逆

与

inv（A）

重合，但是如果你接近“奇点”，你将很容易做出正确的决定，如何进行实际的

伪逆

。当然，这些决定将取决于您的应用程序

添加了一个简单的示例：

> A= randn(3, 2); A= [A A(:, 1)+ A(:, 2)]
A =
  -1.520342  -0.239380  -1.759722
   0.022604   0.381374   0.403978
   0.852420   1.521925   2.374346

> inv(A)
warning: inverse: matrix singular to machine precision, rcond = 0
ans =
   Inf   Inf   Inf
   Inf   Inf   Inf
   Inf   Inf   Inf

> [U, S, V]= svd(A)
U =
  -0.59828  -0.79038   0.13178
   0.13271  -0.25993  -0.95646
   0.79022  -0.55474   0.26040

S =
Diagonal Matrix
  3.6555e+000            0            0
            0  1.0452e+000            0
            0            0  1.4645e-016

V =
   0.433921   0.691650   0.577350
   0.382026  -0.721611   0.577350
   0.815947  -0.029962  -0.577350

> s= diag(S); k= sum(s> 1e-9) % simple thresholding based decision
k =  2

> Ainv= (U(:, 1: k)* diag(1./ s(1: k))* V(:, 1: k)')'
Ainv =
  -0.594055  -0.156258  -0.273302
   0.483170   0.193333   0.465592
  -0.110885   0.037074   0.192290

> A* Ainv
ans =
   0.982633   0.126045  -0.034317
   0.126045   0.085177   0.249068
  -0.034317   0.249068   0.932189

> A* pinv(A)
ans =
   0.982633   0.126045  -0.034317
   0.126045   0.085177   0.249068
  -0.034317   0.249068   0.932189

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如果只需要求逆，则只需求逆，它在数值上比inv（A）更稳定：

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你在做什么需要反向的计算？你知道你的矩阵吗？在我的例子中，我需要对一组点应用3x3投影变换矩阵的逆。这是一个非常小的矩阵，因此inv（a）可以很好地使用。然而，我可以想象计算一些更大矩阵的逆矩阵，然后我也将其应用于一组（高维）点。在运行时方面，哪种方法最快？@ptikobj：在什么上下文中最快？如果不知道完全满足的要求，很难说。也许你可以问一个新问题，在那里你可以更详细地解释你的背景。谢谢

inv_A = 1\A;