通过使用Matlab进行全局拟合，找出基础数据集的相对贡献？

我从实验中得到了两条数据曲线（y1和y2）。两条曲线具有相同的x
对于每条曲线，它们应该由各自的基础数据集描述

 y1 = a* bd1_y1 + b* bd1_y2 + (1-a-b)* bd1_y3 
 y2 = a* bd2_y1 + b* bd2_y2 + (1-a-b)* bd2_y3 

，在哪里

bd1_y1

、

bd1_y2

和

bd1_y3

是

y1

bd2_y1

、

bd2_y2

和

bd2_y3

是

y2

a

和

b

是相对贡献（

0
但是经过几天的工作，我仍然不知道如何将基集合并到函数（f0）中，因此提取a和b时没有运气。

如何对
y1
和
y2
进行拟合以获得a、b及其置信区间？非常感谢您的帮助

Data:
x = [1     2     3     4     5     6     7     8     9  ]; 
y1 = [0.4304    0.2249    0.1283    0.0794    0.0484    0.0326    0.0203    0.0125    0.0072]; 
y2 = [0.2179    0.1699    0.1410    0.1101    0.0871    0.0679    0.0515    0.0385    0.0296]; 
bd1_y1 = [0.5587    0.2244    0.1023    0.0520    0.0276    0.0155    0.0089    0.0053    0.0033]; 
bd1_y2 = [0.4580    0.2788    0.1198    0.0642    0.0342    0.0197    0.0115    0.0069    0.0043]; 
bd1_y3 = [0.3584    0.3102    0.1540    0.0755    0.0440    0.0248    0.0148    0.0091    0.0056]; 
bd2_y1 = [0.3266    0.1778    0.1255    0.0975    0.0777    0.0612    0.0478    0.0367    0.0281]; 
bd2_y2 = [0.2985    0.2086    0.1268    0.0939    0.0722    0.0580    0.0470    0.0383    0.0313]; 
bd2_y3 = [0.2451    0.2221    0.1434    0.0999    0.0775    0.0609    0.0494    0.0406    0.0335]; 

因此，您需要解决（请注意，我已更改了变量的名称）：

这相当于

b = x(1)*(v1-v3) + x(2)*(v2-v3) + x(3)*v3         %(2)

我们有一个标准的线性代数问题
a*x=b
，但约束条件
x（1），x（2）∈ [0,1]
和
x（3）=1

在这种情况下，可以使用最小二乘线性解算器：

% We take your first example
b  = [0.4304    0.2249    0.1283    0.0794    0.0484    0.0326    0.0203    0.0125    0.0072].'; 

% Our 3 variables (v1 = bd1_y1, v2 = bd1_y2...)
v1 = [0.5587    0.2244    0.1023    0.0520    0.0276    0.0155    0.0089    0.0053    0.0033].'; 
v2 = [0.4580    0.2788    0.1198    0.0642    0.0342    0.0197    0.0115    0.0069    0.0043].'; 
v3 = [0.3584    0.3102    0.1540    0.0755    0.0440    0.0248    0.0148    0.0091    0.0056].'; 

% According to (2) we can write our system of equation:
A = [v1-v3,v2-v3,v3];

% Now we fixe the lower bound and the upper bound for each parameters x: x(1), x(2), x(3):
%                x(1) x(2) x(3)
lb = [0 0 1].';%   0   0   1
%                  to  to  to
lu = [1 1 1].';%   1   1   0

% And finally we solve the system of equation:
x = lsqlin(A,b.',[],[],[],[],lb,lu)
% And we found a minimum for:
% x(1) = 0.44 = a
% x(2) = 0    = b
% x(3) = 1    

如果我们绘制结果，我们将得到：

plot(1:9,b,1:9,A*x)
legend('Experimental','Estimation')

通常，我尽量避免约束。因此，第一步应该是：检查真正的解决方案是否在约束范围内。我将用Python进行编程，但它非常通用，因此应该很容易将其转换为Matlab

将numpy导入为np
xl=np.arange（9）+1
y1=np.1数组([
0.4304, 0.2249, 0.1283, 0.0794, 0.0484, 0.0326, 0.0203, 0.0125, 0.0072
]) 
y2=np.array([
0.2179, 0.1699, 0.1410, 0.1101, 0.0871, 0.0679, 0.0515, 0.0385, 0.0296
])
bd1_y1=np.array([
0.5587, 0.2244, 0.1023, 0.0520, 0.0276, 0.0155, 0.0089, 0.0053, 0.0033
])
bd1_y2=np.array([
0.4580, 0.2788, 0.1198, 0.0642, 0.0342, 0.0197, 0.0115, 0.0069, 0.0043
])
bd1_y3=np.array([
0.3584, 0.3102, 0.1540, 0.0755, 0.0440, 0.0248, 0.0148, 0.0091, 0.0056
])
bd2_y1=np.array([
0.3266, 0.1778, 0.1255, 0.0975, 0.0777, 0.0612, 0.0478, 0.0367, 0.0281
])
bd2_y2=np.array([
0.2985, 0.2086, 0.1268, 0.0939, 0.0722, 0.0580, 0.0470, 0.0383, 0.0313
])
bd2_y3=np.array([
0.2451, 0.2221, 0.1434, 0.0999, 0.0775, 0.0609, 0.0494, 0.0406, 0.0335
])
"""
如果y=a x1+b x2+（1-a-b）x3，则
y-x3=a（x1-x3）+b（x2-x3）
i、 e.获得齐次线性系统的简单变换
"""
y1k=y1-bd1_y3
y11k=bd1_y1-bd1_y3
y12k=bd1_y2-bd1_y3
y2k=y2-bd2_y3
y21k=bd2_y1-bd2_y3
y22k=bd2_y2-bd2_y3
"""
所以我们只想解一个简单的线性系统
y=a x1+b x2
y=（y1，…，yn）和x1=（x11，x12，…，x1n）等
使用共享参数处理这两个测量值只需
将相应的向量相加，使yp和yq进入
y_tot=（yp1，…，ypn，yq1，…，yqn）和x相同
矩阵A的x，我们可以把它写成y=A。（A，b）
这是标准的线性优化！
简而言之，这是在以下步骤中完成的（首先加入数据集）
"""
y=np.追加（y1k，y2k）
z1=np.追加（y11k，y21k）
z2=np.append（y12k，y22k）
AT=np.数组（[z1，z2]）
A=np.转置（AT）
U=np.点（AT，A）
UI=np.linalg.inv（U）
K=np.dot（UI，AT）
v=np.点（K，y）
a=v[0]
b=v[1]
印刷品（a、b）
"""
具体而言，应更加小心，以避免奇异矩阵等，
e、 g.通过单值分解等
在下一步中，通常假设所有测量值共享相同的值
与我们计算的基本误差s相同
"""
差异=y-a*z1-b*z2
s2=np.和（差**2）/（长（差）-1）
"""
现在通过误差传播计算协方差矩阵，
也就是像s_a=s*sqrt（sum_i（da/dyi）^2），它给出了经典的
s^2*K KT
"""
cov=s2*np.dot（K，np.transpose（K））
打印（cov）
"""
a的误差为（并相应地为）
"""
sa=np.sqrt（cov[0,0]）
sb=np.sqrt（cov[1,1]）
印刷品（sa、sb）

这段代码已经连接了两个数据集，可以很容易地扩展到n个数据集。最终的解决方案如下所示：


上图：原始数据。目标为蓝色，三个底色
数据集分别为黄色、绿色和红色。下方的图形为蓝色目标和黄色无约束最佳拟合

解决方案

>1.9712440231598143-3.163257723318949

所以这不在边界之内。实际上，
a>1
和
b<0
。所以我们知道解位于边界上。在
（a，b）
-空间中，无论是在右边还是在底部。真正线性问题中的最小二乘最小化给出了真正的抛物线形状，所以只有一个解，没有局部极小值

现在，我们可以在边界上强制求解，而不是试图求解约束问题

“”“
我们只是将参数设置为相应的边界值
像以前一样求解，这里矩阵形式是一个小的
过分了，但为了保持一致性，这是一种很好的写作方式。
"""
"""
案例1:b=0
"""
AT=np.array（[b1all]）
A=np.转置（AT）
U=np.点（AT，A）
UI=np.linalg.inv（U）
K=np.dot（UI，AT）
v=np.点（K，雅尔）
aopt1=v[0]
diff=yall-aopt1*b1all-0*b2all
s2=np.和（差**2）/（长（差）-1）
cov=s2*np.dot（K，np.transpose（K））
打印（aopt1）
打印（cov，np.sqrt（cov[0,0]））
"""
案例2:a=1
"""
ymod=yall-b1all
AT=np.array（[b2all]）
A=np.转置（AT）
U=np.点（AT，A）
UI=np.linalg.inv（U）
K=np.dot（UI，AT）
v=np.点（K，ymod）
bopt1=v[0]
差异=ymod-bopt1*b2all
s2=np.和（差**2）/（长（差）-1）
cov=s2*np.dot（K，np.transpose（K））
打印（bopt1）
打印（cov，np.sqrt（cov[0,0]））

这为
a

>0.3815249997379142
>> [[0.00807797]] 0.08987750010601071

对于
b

>-1.2997646861507886
>> [[0.01736744]] 0.13178558294218914


plot(1:9,b,1:9,A*x)
legend('Experimental','Estimation')