matlab中非均匀网格上的数值积分。有什么功能吗？

我得到了向量

f

中的函数值，以及包含参数

x

值的向量。我需要找到

f

的定义整数值。但是参数向量

x

是不一致的。Matlab中是否有处理非均匀网格上积分的函数？

摘自帮助：

Z=trapz（X，Y）使用 梯形法。X和Y必须是相同的向量 长度，或X必须是列向量，Y必须是第一个 非单一维度是长度（X）。trapz沿着这条路线运行 维度

如您所见，

x

不一定要统一

例如：

x = sort(rand(100,1)); %# Create random values of x in [0,1]
y = x;
trapz( x, y) 

返回：

ans =

    0.4990

另一个例子：

x = sort(rand(100,1)); %# Create random values of x in [0,1]
y = x.^2;
trapz( x, y) 

返回：

ans =

    0.3030

---

根据您的函数（以及

x

的分布方式），您可以通过先对数据进行

样条插值来获得更高的精度：

pp  = spline(x,y);
quadgk(@(t) ppval(pp,t), [range]) 

这是一种快速肮脏的方式。有一种更快、更直接的方法，但这是一种令人困惑、更不透明的方法：

result = sum(sum(...
    bsxfun(@times, pp.coefs, 1./(4:-1:1)) .*...  % coefficients of primitive
    bsxfun(@power, diff(pp.breaks).', 4:-1:1)... % all 4 powers of shifted x-values
    ));

作为一个例子，为什么所有这些都是有用的，我借用了这个例子。确切的答案应该是

>> pi/2/sqrt(2)*(17-40^(3/4))
ans =
     1.215778726893561e+00

定义

>> x = [0 sort(3*rand(1,5)) 3];
>> y = (x.^3.*(3-x)).^(1/4)./(5-x);

我们发现

>> trapz(x,y)
ans =
    1.142392438652055e+00

>> pp  = spline(x,y);
>> tic; quadgk(@(t) ppval(pp,t), 0, 3), toc
ans =
    1.213866446458034e+00
Elapsed time is 0.017472 seconds.

>> tic; result = sum(sum(...
    bsxfun(@times, pp.coefs, 1./(4:-1:1)) .*...  % coefficients of primitive
    bsxfun(@power, diff(pp.breaks).', 4:-1:1)... % all 4 powers of shifted x-values
    )), toc
result =
    1.213866467945575e+00
Elapsed time is 0.002887 seconds.

因此
trapz
低估了该值超过
0.07
。对于后两种方法，误差要小一个数量级。此外，可读性较差的
样条曲线方法的速度要快一个数量级

因此，有了这些知识：明智地选择：）
你可以对每个分段对的
x
进行高斯求积，然后求和得到完整的积分。
谢谢你，安德烈。我认为这很适合我。看看辛普森法则——这是一种一次积分信号样条曲线的方法。@Andrey:Hmmm…辛普森法则基于对
f（x）
的二次近似，其中近似多项式在端点和中点等于
f（x）
。好了，样条曲线是三次近似，那么它是如何工作的呢？@Andrey:Gauss Kronrod应用得很好，因为它在每个区间上都使用了立方近似。我想更多的是使用
pp.breaks
和pp.coefs`中的信息，用“某种聪明的方式”：）我认为有一个公式可以计算任意次数的多项式。不过我不记得了。辛普森规则是N=2的私有案例。你是说如何选择更好的X值？很好！但您还应该添加trapz具有更高精度的示例。当无法选择点位置时，选择更高的多项式次数不是一个简单的问题，高斯求积对于固定的点集没有意义。如果你想在插值拉格朗日多项式上做高斯求积，那么这并不比简单的直接法则好，我认为这是不对的。这在任何有限元程序中都是常规的——非均匀网格上的分段积分。我就是这么想的，错了。是的，有限元代码使用高斯积分来解决不同的问题。然而，给定一个一维函数的采样点列表，进行高斯积分是没有意义的。看来你误解了两者的区别。有一个。一个1-d的高斯积分，只给出了点列表简化为梯形规则。（你所能做的就是对每个区间使用一个中点规则，使用一个线性插值来插补一个值，因此梯形规则就不适用了。）如果你想使用一个高阶规则，积分高阶拉格朗日分段，那么你最好积分一条样条曲线，而不是积分一组不可微分段。同样，高斯法则是没有价值的。”@Andrey基本上这是一个非均匀网格的高斯求积；它本质上比梯形法则更精确。虽然不是所有函数都是如此，但无论如何大多数都是如此。”-我写它时没有价值，在你的评论中本质上更精确。是哪一个？