Math 棘手的柏林噪声问题。梯度函数如何使用标准化向量？

我目前正在了解改进的柏林噪声。 我完全理解这个理论，但是，我对它的一个常见实现方面感到困惑，例如

我的问题是，grad（）函数如何返回规范化向量（梯度和方向）的点积？我的意思是，归一化向量的点积的范围是-1到1，这是柏林噪声在混合（衰减）所有点积之后的正常输出。但是经过点积的向量不是标准化的（没有梯度函数，也没有方向向量）。那么，输出如何在-1到1范围内

我唯一的猜测是梯度向量都有根2的大小，方向向量的所有轴都在-1到1的范围内。所以，我假设这就是柏林噪声输出最终在-1到1范围内的原因。这是为什么？有人能证明或找到证据吗

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谢谢大家，在中，

grad（）

函数返回两个向量的点积，但我不明白是什么让你说这些向量应该有单位大小。采样位置可以连续位于立方体中的任何位置。假设一个单位大小的立方体，到采样位置的距离向量的大小可能在0到sqrt（3）之间。所以，它看起来像| |梯度向量| |=sqrt（2）和| |距离向量| |≤ sqrt（3），将

grad（）的输出限定在−sqrt（6）和+sqrt（6）(≈ 2.45）。
矢量没有标准化（它们的长度是sqrt（2），正如所描述的另一个贡献者），并且噪声的总输出不是精确的-1:1。如果向量和所有符号排列都是可能的，那么我相信最大值就在每个立方体的中心。对于0.5^3，它将是点（梯度，偏移自顶点）=点（，）=1.5，/8，因为在3个方向的每个方向上都有一半的插值权重，*8对于有8个顶点，它再次取消。如果向量是标准化的，并且它们可以指向每个立方体的中心，那么点（/sqrt（3），）=1.5/sqrt（3）≈ 0.8660254037844387

但是，这两种情况都不是这样，因此噪声的实际最小/最大值更复杂。我以前在噪声上运行过梯度上升，使用你看到的梯度集，来找到它的真正最大值。最大值略大于1，且不在中心。将整个噪声乘以（或等效地将表中的每个梯度乘以）以校正输出范围的值为0.964921414852142333984375

顺便说一句，如果你还没有通过其他来源发现这一点：柏林河是伟大的学习，但它产生了大量的偏向主轴和产量低变化的角度分布的特点。好的单纯形噪声实现通常会产生更好的结果。如果您要使用柏林，我建议您选择垂直（或时间，或未使用的）方向，并在输入坐标上使用以下公式之一。您可以在分形求和之前执行此操作（更有效），也可以将其放入函数定义的开头（更方便）。一旦您这样做了，它就很棒了，而且在正确的情况下使用时，它比一些单纯形类型的噪波实现看起来更好。但是请注意，对于这种技术，您需要始终使用3D噪波，即使您的用例只是2D

如果Z为垂直、时间或未使用：

double xy = x + y;
double s2 = xy * -0.211324865405187;
z *= 0.577350269189626;
x += s2 - z;
y = y + s2 - z;
z += xy * 0.577350269189626;

double xz = x + z;
double s2 = xz * -0.211324865405187;
y *= 0.577350269189626;
x += s2 - y;
z = z + s2 - y;
y += xz * 0.577350269189626;

如果Y为垂直、时间或未使用：

double xy = x + y;
double s2 = xy * -0.211324865405187;
z *= 0.577350269189626;
x += s2 - z;
y = y + s2 - z;
z += xy * 0.577350269189626;

double xz = x + z;
double s2 = xz * -0.211324865405187;
y *= 0.577350269189626;
x += s2 - y;
z = z + s2 - y;
y += xz * 0.577350269189626;

之前（45度和90度零件的批次）


之后（方向偏差基本不可见）

好的，太好了，谢谢你提供的信息。我的困惑是假设柏林噪声的输出在-1到1的范围内，然而，源实现的真实范围实际上稍微大一些。非常感谢你。