Math 二维抛物型偏微分方程的有限差分

这是金凯的《数值计算》第15章中的一个修正问题。（不是物理）

如何正确实现边界条件？条件是

u(0,y,t) = u(x,0,t) = u(nx,y,t) = u(x,ny,t) = 0.

看来我做得不对。我的代码如下

我正试图编写一个Fortran代码，用有限差分法求解二维热（抛物线）方程。当我打印出结果时，我会得到不同的结果和“NaN”。我似乎没有正确定义边界条件。我正确地在1维中编写了代码，试图将其推广到2维，但在边界处遇到了麻烦

注意，

i，j

分别表示x和y位置do循环，m表示时间do循环

nx、ny、W

分别是x、y方向和时间方向上的网格点数量

Lx、Ly

和

tmax

是网格位置和时间间隔的大小。位置（x，y）步数和时间步数分别由

hx，hy，k

给出，并且

hx

和

hy

对于下面的示例是相等的。我将解决方案存储在变量u和v中，如下所示

program parabolic2D

implicit none

integer :: i,j,m 
integer, parameter :: nx=10., ny=10., W=21. 
real, parameter :: Lx=1.0, Ly=1.0, tmax=0.1 
real :: hx,hy,k,pi,pi2,R,t 
real, dimension (0:nx,0:ny) :: u,v 


hx=(Lx-0.0)/nx 
hy=(Ly-0.0)/ny 
k=(tmax-0.0)/W
R=k/hx**2.
u(0,0)=0.0; v(0,0)=0.0; u(nx,ny)=0.0; v(nx,ny)=0.0 !boundary conditions u(0,0,t)=0=u(nx,ny,t)
pi=4.0*atan(1.0) 
pi2=pi*pi



do i=1,nx-1
do j=1,ny-1
u(i,j)=sin(pi*real(i)*hx)*sin(pi*real(j)*hy)  !initial condition
end do
end do

do m=1,W

do i=1,nx-1
do j=1,ny-1
v(i,j) = R*(u(i+1,j)+u(i-1,j)+u(i,j+1)+u(i,j-1))+(1-4*R)*u(i,j) !Discretization for u(x,y,t+k)
end do
end do

t = real(m)*k ! t refers to time in the problem.

do i=1,nx-1
do j=1,ny-1
u(i,j)=v(i,j) !redefining variables.
end do
end do
write(*,*) 'for all times m, this prints out u(x,y,t)',m,((u(i,j),i=0,nx),j=0,ny)

end do

end program parabolic2D

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正如Ross指出的，您还没有完全指定边

i=j=0

和

i=nx

和

j=nx

的边界条件。只指定了域的各个角

改变

u（0,0）=0.0；v（0,0）=0.0；u（nx，ny）=0.0；v（nx，ny）=0.0！边界条件u（0,0，t）=0=u（nx，ny，t）

到

u（0，：）=0.0
u（nx，：）=0.0
u（：，0）=0.0
u（：，ny）=0.0

甚至

u=0.0

内部点稍后会被覆盖。
我们这里没有真正解决物理问题，抱歉。如果您有一个特定的编码问题，我们可能会提供帮助，但这种类型的问题可能超出stackoverflow的范围。尽管如此，我可以提供一些问题，这些问题可能有助于指导您的方法。您确定边界条件设置正确吗？看起来您只设置了u（0,0）和u（nx，ny），但随后使用了u（0,1:ny-1）。此外，由于您似乎正在尝试学习，我建议您缩进代码。读取格式不正确的代码非常困难，循环和条件缩进是其中的关键部分。我无法回复，因为我没有>50的评级。你建议我如何修正边界条件？我不理解你的评论，当你说“但是然后使用
u（0,1:ny-1）
，”时。我正在努力学习Fortran。@乔：你可以在自己的问题下发表评论，你不需要任何代表。更重要的是，这个问题属于其他地方。最好