Matlab 定点迭代求根时输出错误

我有一个方程

g=@（x）（5-（（5/2）*exp（x/2））-（（7/2）.x^2）-3*x）。^1/3

，根据规范，方程有3个根。但是为了得到固定点，我的输出在x和g（x）之间没有任何匹配。输出：

>> fpi1(g, 0.5, 20)
   x0                                           g(x0)
  0.500000000000000                       0.670818823114861 - 1.161892284308499i
  0.670818823114861 - 1.161892284308499i  1.281297751181495 - 1.559064591427071i
  1.281297751181495 - 1.559064591427071i  1.864118571141893 - 1.621766955715062i
  1.864118571141893 - 1.621766955715062i  2.320549078066838 - 1.504496934526923i
  2.320549078066838 - 1.504496934526923i  2.646646533032701 - 1.316018792060223i
  2.646646533032701 - 1.316018792060223i  2.870437643388612 - 1.115036747500670i
  2.870437643388612 - 1.115036747500670i  3.021682102842603 - 0.927806240969038i
  3.021682102842603 - 0.927806240969038i  3.123528510261589 - 0.763760920462736i
  3.123528510261589 - 0.763760920462736i  3.192243659445853 - 0.624547007383635i
  3.192243659445853 - 0.624547007383635i  3.238827490411373 - 0.508525243060542i
  3.238827490411373 - 0.508525243060542i  3.270613725640807 - 0.412880979787002i
  3.270613725640807 - 0.412880979787002i  3.292471687008435 - 0.334576282706924i
  3.292471687008435 - 0.334576282706924i  3.307635263738642 - 0.270756021961336i
  3.307635263738642 - 0.270756021961336i  3.318257296190301 - 0.218898831715851i
  3.318257296190301 - 0.218898831715851i  3.325776161489184 - 0.176850650328430i
  3.325776161489184 - 0.176850650328430i  3.331157314339334 - 0.142806525903066i
  3.331157314339334 - 0.142806525903066i  3.335052371178708 - 0.115272146831085i
  3.335052371178708 - 0.115272146831085i  3.337903988543196 - 0.093020017690524i
  3.337903988543196 - 0.093020017690524i  3.340015124633794 - 0.075047094363536i
  3.340015124633794 - 0.075047094363536i  3.341594884710001 - 0.060536697645525i
  3.341594884710001 - 0.060536697645525i  3.342788954448884 - 0.048825574318716i

我做错了什么？怎么能修好呢

%Program 1.2 Fixed-Point Iteration
%Computes approximate solution of g(x)=x
%Input: inline function g, starting guess x0, 
%       number of steps k
%Output: Approximate solution xc
function xc=fpi1(g,x0,k)
x(1)=x0;
for i=1:k
  x(i+1)=g(x(i));
end
xc=x(k+1);
disp('   x0                                           g(x0)');
disp([x', g(x)']);

---

在我开始之前只需要一个小纸条。您的

g

函数中有一个输入错误。我想你是指

（7/2）*

而不是

（7/2）。

。我还必须编辑您的代码，以允许电源操作按元素运行：

g = @(x)(5-((5/2).*exp(x/2))-((7/2)*x.^2)-3*x).^1/3;

用这个修正后的函数进行一些初始测试，使其与您得到的匹配

---

在任何情况下，使用定点迭代来查找方程的根都是不正确的。在我讨论您需要做什么来修复它之前，我想先介绍定点迭代是如何工作的，以便您（以及阅读本文的其他人）了解我的来历

定点迭代基于初始输入值

x0

。然后，在将该值提交到函数后，重复计算该值的输出，然后在下一次迭代中将该输出重新用作输入。具体而言，定点迭代方案执行以下操作：

资料来源：

理想情况下，在一些迭代之后，我们希望迭代收敛到某个值

x

，以便：

资料来源：

以上就是不动点的定义。这样做找根（本机）不受支持，因为找方程的根与不动点的假设相矛盾。根的定义是当

f（x）=0

时，这不是一个固定点，除非

x=0

。如果要使用定点迭代来查找根，则必须更改函数

f

的结构方式。这就引出了经典的迭代寻根技术，它也使用定点迭代来寻找函数的根，但是函数

f（x）

是不同的

我将不讨论牛顿方法的推导，但这是您在每次迭代中所做的：

资料来源：

f（x）

是函数，

f'（x）

是

f（x）

的导数。如果我们用一个新函数

g（x）

替换右侧，您将在函数

g（x）

上执行定点迭代，收敛后的结果就是您要查找的根。具体而言，如果：

资料来源：

然后：

资料来源：

因此：

资料来源：

。。。并且

x

是函数

f（x）

的根，如果：

资料来源：

因此，您需要修改代码，使其不再具有函数句柄。它必须采用符号版本，因为需要对函数求导

请记住，为了使代码正常工作，您需要对代码进行以下修改：

%//Program 1.2 Fixed-Point Iteration via Newton's Method
%//Computes approximate root of g(x)=0
%//Input: symbolic function g, starting guess x0, 
%//       number of steps k
%//Output: Approximate solution xc

format long g; %// For precision
x(1)=x0;
gp = diff(g); %// Change
for i=1:k
    gval = double(subs(g, 'x', x(i))); %// Change
    gpval = double(subs(gp, 'x', x(i))); %// Change
    x(i+1)= x(i) - (gval/gpval); %// Change
end
xc=x(k+1);
y = double(subs(g, 'x', x)); %// Change
disp('                        x0                      g(x0)');
disp([x' y'])

不同的是，在函数内部，你可以用符号找到导数。此外，如果要将值替换到函数中，则需要使用，然后将结果强制转换为

double

。我还假设你的函数是关于变量

x

最后一行代码将所有累积的

x

值转换为

double

数组以供显示

要运行此代码，请执行以下操作：

syms x;
g = (5-((5/2)*exp(x/2))-((7/2)*x^2)-3*x)^1/3;
xc = fpi(g, 0.5, 20);

请注意，您不再需要元素操作符，因为我们正在处理符号方程

我们得到：

>> fpi(g, 0.5, 20)
                        x0                      g(x0)
                       0.5        -0.195021180573118
         0.427814775036064       -0.0067677938874851
          0.42512303212814     -9.38738903072792e-06
         0.425119288112029     -1.81600035806892e-11
         0.425119288104786     -5.28061163184459e-17
         0.425119288104786      1.52806116318446e-17
         0.425119288104786      1.52806116318446e-17
         0.425119288104786      1.52806116318446e-17
         0.425119288104786      1.52806116318446e-17
         0.425119288104786      1.52806116318446e-17
         0.425119288104786      1.52806116318446e-17
         0.425119288104786      1.52806116318446e-17
         0.425119288104786      1.52806116318446e-17
         0.425119288104786      1.52806116318446e-17
         0.425119288104786      1.52806116318446e-17
         0.425119288104786      1.52806116318446e-17
         0.425119288104786      1.52806116318446e-17
         0.425119288104786      1.52806116318446e-17
         0.425119288104786      1.52806116318446e-17
         0.425119288104786      1.52806116318446e-17
         0.425119288104786      1.52806116318446e-17

---

所以其中一个根等于

0.425119288104786

。右边的一栏告诉您每次迭代在

g（x）

处的值是多少，您可以看到它非常小。。。几乎是零。这或多或少是根的定义。

你的

g（x）

公式中的

（7/2）.x^2

给了我一个错误，因为你试图在标量上使用运算符

。你想用什么运算符呢？@ClarissaG，但是当我不使用运算符

时，Matlab会给我一个错误，告诉我使用运算符

@ClarissaG时，

输入必须是标量和方阵。若要计算元素幂，请使用幂（.^）。

请仔细检查函数，其中存在语法错误（

错误：意外的MATLAB运算符。

）更正后的函数应为：

g=@（x）（5-（（5/2）。*exp（x/2））-（（7/2）*x.^2）-3*x）。^1/3。
（7/2）
后面的点应该是乘法，幂运算符应该是元素：
^
。谢谢你所做的一切，@rayryeng！最后一个问题，如果r=g（r），f（r）=0（f（r）必须等于0）吗？非常接近。如果你用的是牛顿法，
g（r）=r-f（r）/f'（r）
<如果
f（r）/f'（r）=0，则code>r
是根。牛顿的方法与定点迭代一起工作，以在每次迭代中最小化该项。