Matlab 求解大型稀疏线性系统，其中A是kron乘积的结果

如何解线性系统

（A⊗ B+C⊗ D） x=b

在MATLAB中，不计算乘以x的实际矩阵(⊗ 表示kronecker乘积）。尽管

A

、

B

、

C

和

D

是

稀疏的

矩阵，但这种天真的方法

x = (kron(A,B) + kron(C,D))\b 

不适合内存，并导致MATLAB对大型矩阵（每个矩阵约1000 x 1000个元素）崩溃

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对此可以做些什么？

看看你的矩阵通常是多么的稀疏，张量积的最终结果应该不会占用那么多内存。这是由于中间计算的巨大内存需求而无法进行矢量化的情况之一，但使用循环（和部分矢量化）可能是可行的

请注意，这是一种“总比什么都没有好，但不是一种非常好的解决方案”

我将使用，因为它使使用稀疏矩阵更容易

%创建一些矩阵
[A，B]=交易（稀疏（10001000））；
A（randperm（1000^2，10000））=randn（1E4，1）；
B（randperm（1000^2，10000））=randn（1E4，1）；
A=nda（A）；B=ndb（B）；
%Kronecker张量积，复制自kron.m
[ma，na]=尺寸（A）；
[mb，nb]=尺寸（B）；
A=重塑（A[1 ma 1 na]）；
B=重塑（B，[mb 1 nb 1]）；
%K=重塑（A.*B，[ma*mb na*nb]）；%这会失败，内存太多。
K=ndSparse（稀疏（mb*ma*nb*na，1），[mb，ma，nb，na]）；%这很有效

根据可用内存，可以从这里开始：

%如果内存充足（2D x 1D->3D）：
对于ind1=1:mb
K（ind1，：，：，：）=bsxfun（@times，A，B（ind1，：，，：）；
结束
%如果内存较少（1D x 1D->2D）：
对于ind1=1:mb
对于ind2=1:ma
K（ind1，ind2，：，：）=bsxfun（@times，A（：，ind2，：，：），B（ind1，：，，：）；
结束
结束
%如果内存更少（1D x 0D->1D）：
对于ind1=1:mb
对于ind2=1:ma
对于ind3=1:nb
K（ind1，ind2，ind3，：）=bsxfun（@times，A（：，ind2，：，：），B（ind1，：，ind3，：）；
结束
结束
结束
%如果绝对没有内存（0D x 0D->0D）：
对于ind1=1:mb
对于ind2=1:ma
对于ind3=1:nb
对于ind4=1:na
K（ind1，ind2，ind3，ind4）=A（：，ind2，：，ind4）。*B（ind1，：，ind3，：）；
结束
结束
结束
结束
K=稀疏（重塑（K[ma*mb na*nb]）；%最后一击

因此，这只是一个如何最终执行计算的理论演示，但不幸的是，它非常低效，因为它必须反复调用类方法，而且它也不能保证有足够的内存来计算

\

运算符

改进这一点的一种可能方法是以某种分块方式调用

matlab.internal.sparse.kronSparse

，并将中间结果存储在输出数组的正确位置，但这需要仔细考虑

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顺便说一句，我试着使用Ander提到的FEX提交（），但是当你需要计算

kron（A，B）+kron（C，D）

（虽然对于

kron（A，B）\B

的情况来说这很神奇。）

你知道有什么算法可以解决这类问题，并且正在寻找它们在MATLAB中的实现吗？或者你在问，一般来说，如何在MATLAB中解决不适合内存的问题？如何解决不适合内存的问题。或者如何创建一个“矩阵对象”来存储（a x B+C x D）的结果，而不首先明确地计算它，这可以与反斜杠运算符一起使用，如果这是可能的，则可以为此类问题提供一个通用解决方案。然而，如果这个方程代表了一些已知的问题，那么可能有一些有效的实现，它们采用

A、B、C、D

和

B

并返回

x

w/o来解决整个系统。你可能想提到这个方程出现在哪个领域……方程产生于时空有限元法，其中B和D是质量和刚性矩阵，A和C是时间离散化的矩阵。后两种是只有一个或两个次对角线的稀疏对角矩阵。中介绍了一种求解此类方程的方法，但我正在寻找另一种方法。根据Mathworks，它们没有稀疏的

kron

。在同一个线程中，有一个指向用户实现的稀疏kron的链接，我建议使用该链接