Matlab 寻找帐篷映射的不动点/吸引子/排斥子

我需要找到帐篷映射函数的不动点和吸引子，定义如下：

x_t = (3/2) * x_t-1 when 0 <= x <= (2/3) and x_t = 3* (1-x_t-1) when (2/3) <= x <= 1

---

xt=（3/2）*xt-1当0时，为了让精通Mathematica的人更容易回答问题，以下是Mathematica对上述代码的翻译：

CobwebDiagram[xstart_, steps_] := Module[{path, x, t},
  path = RecurrenceTable[{x[t] == 
      Piecewise[{{3/2 x[t - 1], 0 <= x[t - 1] <= 2/3}}, 
       3 (1 - x[t - 1])], x[1] == xstart}, x, {t, 1, steps}];
  Plot[Piecewise[{{3/2 x, 0 <= x < 2/3}}, 3 (1 - x)], {x, 0, 1}, 
   Epilog -> {Red, 
     Line[Riffle[Partition[path, 2, 1], {#, #} & /@ Rest[path]]]}]]

CobwebDiagram[xstart，steps]：=Module[{path，x，t}，
路径=递归表[{x[t]==
分段[{{3/2x[t-1]，0这些只是围绕这个问题的一些见解。我现在将继续使用Mathematica，因为它更方便（从上面的代码判断，您应该能够在MATLAB中管理它，如果不能，我将尝试转换它）.然而，如果你有Mathematica，并且可以测试这些，那就太好了

固定点：函数
f（x）
的固定点是
f（x）=x的解；换句话说，函数映射到自身的点

对函数进行求解，得到
x=0
和
x=3/4
作为固定点

In:= Solve[Min[3/2 x, 3 - 3 x] - x == 0, x]

Out= {{x -> 0}, {x -> 3/4}}

事实上，从这些点开始的轨迹将永远停留在这些点上

Manipulate[
 CobwebDiagram[xstart, steps], {xstart, 0, 1, 1/1000}, {steps, 1, 200,
   1}] 

固定点的性质

让我们看看不动点的性质。如果它是吸引子，不动点任意小ε大小的邻域中的点保持在相似大小的邻域中（不一定是完全相同的大小），如果它是排斥者，它会被排斥并发散到邻域外的完全任意点（我的定义在这里很松散，但猜测就可以了）

因此，尝试以下方法

eps = 10^-16;
CobwebDiagram[0.75 + eps, 200]

我们得到

图（1）


这显然不像是收敛到固定点。事实上，如果你看一下
x[t]
的演变，你会发现它发散了

Clear[f]
f[1] = 0.75 + eps;
f[t_] := f[t] = 
   Piecewise[{{3/2 f[t - 1], 0 <= f[t - 1] <= 2/3}}, 3 (1 - f[t - 1])];
ListLinePlot[Table[f[n], {n, 1, 200}]]

图（5）


哇！！那看起来像是一场比赛

极限环：极限环是系统的一条闭合轨迹，从中不可能到达轨迹以外的点，即使是
t->无穷大

图（6）


只重复了3个点（图像压缩创建了一个，但实际上，如果你用一小步绘制它，你会看到3个点。我太困了，无法返回并重新打印）。这三个点分别是
12/25
、
18/25
和
21/25
。从这三个点中的任何一个开始，您将进入相同的极限循环

现在，如果足够接近极限环的轨迹收敛到它，那么它是吸引/稳定极限环，否则它是排斥/不稳定极限环。所以像以前一样，通过
eps
在任意方向上扰动，我们可以看到轨迹发散（我只在下面显示+ve方向）

图（7）


图（8）


有趣的是，从
x[1]=19/25
开始，将其映射到下一步中的
18/25
，然后在极限循环轨迹中无限期地继续。很容易理解为什么会发生这种情况，因为从
19/25
到
y=x
的直线只是从
12/25
到
y=x
的直线的延续（即，从函数的第一部分开始）。根据相同的逻辑，应该有对应于
18/25
和
21/25
的点，但我现在不打算找到它们。鉴于此，我不确定这里的极限环是真正吸引还是排斥（根据极限环的严格定义，只需要有一条其他的轨迹盘旋进入极限环，我们发现了三条！也许对此有更多了解的人可以参与进来）

还有一些想法

起点
1/2
也很有趣，因为它会在下一步将您带到
3/4
，这是一个固定点，因此会永远留在那里。同样，点
2/3
会将您带到
0
的另一个固定点

CobwebDiagram[1/2, 200]

图（9）


图（10）


振荡的行为也告诉你一些关于系统的事情。如果你看一下图中的轨迹。（2,4），在定点
0
情况下，系统螺旋进入混沌所需的时间比另一种情况更长。此外，在这两种图中，当轨迹接近
0
时，系统恢复所需的时间比在
3/4
时要长，此时系统只是快速摆动。这些看起来类似于松弛振荡（想象一个电容器缓慢充电，并通过短路瞬间放电）

这就是我现在所能想到的。最后，我认为不动点的确切性质必须在的一般设置中进行分析，但我不打算就此展开讨论。我希望这个答案为您提供了一些可供研究的选项。
我不知道蛛网图的哪一部分来得早，哪一部分来得晚。我还没有找到f颜色功能确实有效，但可能存在以下改进：

Clear[cobWebDiagram, f, x]
f[x_] = Piecewise[{{3/2 x, 0 <= x <= 2/3}, {3 (1 - x), True}}];
colorName = RandomChoice@ColorData["Gradients"]
color = ColorData@colorName

cobWebDiagram[f_, xstart_, steps_, low_, hi_, color_] := 
 Module[{path, x, t, range = color[[3]], scale1},
  path = Partition[NestList[f, .75 + eps, steps], 2, 1];
  scale1 = Rescale[#, {1, Length@path}, range] &;
  scale2 = Rescale[#, {1, Length@path}, {0, .005}] &;
  Show[Plot[f@x, {x, low, hi}], 
   Graphics@
    Table[{color@scale1@k, Thickness@scale2@k, 
      Arrow@path[[{k, k + 1}]]}, {k, -1 + Length@path}]]]

eps = 10^-16;
cobWebDiagram[f, .75 + eps, 100, 0, 1, color]

不知怎的，当我第一次看到它时，我认为这是一个家庭作业问题，OP对尤达答案的回答证实了这一点。问家庭作业问题不一定是错误的，但它肯定应该清楚地标记出来。在meta上的这个链接上有一些合理的家庭作业政策：

考虑到“没有家庭作业解决方案；欢迎轻推”的政策，我想在我迄今为止提供的解决方案讨论中添加一条评论。检查f的迭代图。我指的是f（f（x）），f（f（f（x）），等等的图。例如，f（x）=x^2的第三次迭代是f（f（x）））=x^8。f的第n次迭代图和y=x线之间的交点包括n阶的周期轨道（以及更高一点）
CobwebDiagram[1/2, 200]

CobwebDiagram[2/3, 200]

Clear[cobWebDiagram, f, x]
f[x_] = Piecewise[{{3/2 x, 0 <= x <= 2/3}, {3 (1 - x), True}}];
colorName = RandomChoice@ColorData["Gradients"]
color = ColorData@colorName

cobWebDiagram[f_, xstart_, steps_, low_, hi_, color_] := 
 Module[{path, x, t, range = color[[3]], scale1},
  path = Partition[NestList[f, .75 + eps, steps], 2, 1];
  scale1 = Rescale[#, {1, Length@path}, range] &;
  scale2 = Rescale[#, {1, Length@path}, {0, .005}] &;
  Show[Plot[f@x, {x, low, hi}], 
   Graphics@
    Table[{color@scale1@k, Thickness@scale2@k, 
      Arrow@path[[{k, k + 1}]]}, {k, -1 + Length@path}]]]

eps = 10^-16;
cobWebDiagram[f, .75 + eps, 100, 0, 1, color]

colorName="CMYKColors"