Matlab 求多个变量之和为1的所有组合

我正试图解这个方程

x1 + x2 + x3 + .... + xn = 1

x(1) + x(2) + ... + x(n) = 1

x(1) + x(2) + ... + x(n) = k,

其中所有

xi

的值限制为

[0,0.1,0.2，…，0.9,1]

---

目前，我正在解决这个问题，首先生成一个n维数组

mat

，其中每个元素位置的值是轴值的总和，轴值在

axisValues=0:0.1:1

中变化：

mat(i,j,k,...,q) = axisValues(i) + axisValues(j) + ... + axisValues(q).

然后搜索结果数组中等于1的所有条目。代码（如下所示，以进一步澄清）运行良好，并已测试了多达5个尺寸。问题是，运行时间呈指数增长，我需要脚本在多个维度上工作

clear all
dim = 2; % The dimension of the matrix is defined here. The script has been tested for dim ≤ 5
fractiles(:,1) = [0:0.1:1]; % Produces a vector containing the initial axis elements, which will be used to calculate the matrix elements
fractiles = repmat(fractiles,1,dim); % multiplies the vector to supply dim rows with the axis elements 0:0.1:1. These elements will be changed later, but the symmetry will remain the same.
dim_len = repmat(size(fractiles,1),1,size(fractiles,2)); % Here, the length of the dimensions is checked, which his needed to initialize the matrix mat, which will be filled with the axis element sums
mat = zeros(dim_len); % Here the matrix mat is initialized
Sub=cell(1,dim);
mat_size = size(mat);
% The following for loop fills each matrix elements of the dim dimensional matrix mat with the sum of the corresponding dim axis elements.
for ind=1:numel(mat)
    [Sub{:}]=ind2sub(mat_size,ind);
    SubMatrix=cell2mat(Sub);
    sum_indices = 0;
    for j = 1:dim
        sum_indices = sum_indices+fractiles(SubMatrix(j),j);
    end
    mat(ind) = sum_indices;
end
Ind_ones = find(mat==1); % Finally, the matrix elements equal to one are found.

我觉得使用问题对称性的以下想法可能有助于显著减少计算时间：

对于2D矩阵，满足上述条件的所有条目位于从

mat（1,11）

到

mat（11,1）

的对角线上，即从

x1

的最大值到

x2

的最大值

对于3D矩阵，所有条目都满足位于对角线平面上的条件，通过

mat（1,1,11）

，

mat（1,11,1）

，

mat（11,1,1）

，即从

x1

和

x2

的最大值到

x3

的最大值

更高维度也是如此：所有感兴趣的矩阵元素都位于固定在每个维度最高轴值上的

n-1

维度超平面上

---

问题是：有没有办法直接确定这些

n-1

维超平面上元素的指数？如果是这样，整个问题可以一步解决，而不需要计算n维矩阵的所有条目，然后搜索感兴趣的条目

数学： 我们不走超立方体的路，而是解方程

x1 + x2 + x3 + .... + xn = 1

x(1) + x(2) + ... + x(n) = 1

x(1) + x(2) + ... + x(n) = k,

其中每个

x（i）

可以在

[0，1/k，2/k，…（k-1）/k，1]

中变化。在您的情况下，

k

将是10，因为这将导致百分比

[0,10,20，…90100]

。 乘以

k

这对应于丢番图方程

x1 + x2 + x3 + .... + xn = 1

x(1) + x(2) + ... + x(n) = 1

x(1) + x(2) + ... + x(n) = k,

其中所有的

x（i）

在

[0，1，2，…k-1，k]

中变化

我们可以在这个和组合概念之间建立一个双射

维基百科的文章甚至在声明中含蓄地提到了潜在的双射：

那么大小为k的多子集的数目就是丢番图方程

x1+x2+…+的非负整数解的数目xn=k

对于一个较小的例子，假设我们使用

k=3

和

[0,33,66100]

中的百分比。给定集合

{1,2,3}

的所有k-多重组合：

RepCombs = 
     1     1     1
     1     1     2
     1     1     3
     1     2     2
     1     2     3
     1     3     3
     2     2     2
     2     2     3
     2     3     3
     3     3     3

然后，我们使用以下规则将其映射到您的百分比： 对于每一行

i

，如果条目为

j

，则将百分比的

1/3

添加到相应的矩阵条目

M（i，j）

。第一行将对应于

[1/3+1/3+1/3,0,0]=[1,0,0]

。 此过程生成的整体矩阵如下所示：

M =
    1.0000         0         0
    0.6667    0.3333         0
    0.6667         0    0.3333
    0.3333    0.6667         0
    0.3333    0.3333    0.3333
    0.3333         0    0.6667
         0    1.0000         0
         0    0.6667    0.3333
         0    0.3333    0.6667
         0         0    1.0000

代码： 现在来看生成所有这些的MATLAB代码： 我使用函数

nmultichoosek

from和

accumarray

来实现我们的目标：

function M = possibleMixturesOfNSubstances(N, percentageSteps)
RepCombs = nmultichoosek(1:N, percentageSteps);
numCombs = size(RepCombs,1);
M = accumarray([repmat((1:numCombs).', percentageSteps, 1), RepCombs(:)], 1/percentageSteps, [numCombs, N]);

---

如果您希望百分比在

[0,10，…90,100]

中，并且有4种物质，请使用

可能的混合物质（4,10）

调用此函数如果您试图生成这个庞大的矩阵，它自然会以指数形式增加。你可以把速度加快一点，但是否值得，这取决于是否没有办法绕过这个矩阵。什么是应用程序？我还是不太明白。你想解决什么问题？你发布的代码解决了什么问题？我想这应该与向量的凸包有关

e1

to

en

。。。如果你有所有这些线性指数，你的下一步是什么？这些线性指数代表所有可能的n组分混合物（例如，n=3的氢+氧+氮）。该脚本运行完毕后，索引将被输入到另一个脚本中，该脚本将组件数据集的每个可能组成近似为参考（例如水），并找到最佳近似值（在本例中为0.1119 H+0.8881 O+0 Ti）。手边的这个脚本应该找到n个组件的所有可能组合，并将其传递给后续脚本以进行优化过程。（上图：nigtrogen=Tianium）问题主要是内存和运行时。当然，运行时将保持指数增长，但我喜欢将问题简化为实际感兴趣的矩阵元素，并避免计算不必要的值。因此是（超）平面，其中包括所有感兴趣的值。这个（超）平面实际上是凸包，在e1到en的最大值之间，我相信。所以基本上你并不真正关心超平面，而是要计算不同分量的混合百分比的所有可能组合，其中每个分量可以有一个：0,10,20，。。。，90100%？@AndreasSchönfeld:很高兴能帮忙！