Matlab 为什么isequaln（f，simplify（f））是假的？

我有一个函数

f

，其定义如下：

syms c a t
f = symfun(c + t - (2*(t - 2^(1/2)*(a*t)^(1/2))*(a - t/2))/(2*a - t), [c a t])

但是，检查简化版本是否相等会产生：

isequaln(f, simplify(f))

ans =

     0

---

simplify

是否不希望返回与原始函数完全等效的函数？

函数simplify返回您提供的函数的最简单代数形式。根据Matlab的文档：

isequaln递归比较符号数据结构的内容 以及对象的属性。如果在各自的 位置相等，isequaln返回逻辑1（true）

我不清楚Matlab是如何检查“各个位置的内容”的，但看起来，虽然简化函数在代数上与原始函数等价，但其“内容”与原始函数不在同一位置，因此Matlab认为它们是不同的

正如@horchler在一篇评论中正确地提到的，用一组输入参数测试两个函数的相等性并不是一个可靠的证明，如下所示，因此对这个答案持保留态度：

%//Define f and S = simplify(f);
syms c a t
f = symfun(c + t - (2*(t - 2^(1/2)*(a*t)^(1/2))*(a - t/2))/(2*a - t), [c a t])

f(c, a, t) =

c + t - ((2*t - 2*2^(1/2)*(a*t)^(1/2))*(a - t/2))/(2*a - t)

S = simplify(f)

S(c, a, t) =

c + 2^(1/2)*(a*t)^(1/2)

%// Check with dummy arguments:

isequaln(f(1,2,3),S(1,2,3))

ans =

     1 %// seems to work...

出于好奇，如果我们比较两个函数，即（a+b）^2和a^2+2ab+b^2（它们是相同的），并检查是否等效：

syms a b
x1 = symfun(a^2+2*a*b+b^2,[a b])

x1(a, b) =

a^2 + 2*a*b + b^2

x2 = symfun((a+b)^2,[a b])

x2(a, b) =

(a + b)^2

isequaln(x1,x2)

ans =

     0

我们再一次得到错误，尽管它们是等价的

---

因此，要回答“为什么isequaln（f，simplify（f））是假的？”这个问题，我会说这是因为MATLAB在内部以不同的方式组织它们的内容，所以它们看起来像两个不同的函数。我知道这不是一个很好的解释，但无论如何我希望这能有所帮助。

代码的问题是平等的

可能不是用于测试相等性的适当函数。从

sym/isequaln

的帮助中：

isequaln（A，B）返回真值，如果A和B相同，则将NaN视为相等

正如@Benoit_11所暗示的，文档并不完全清楚，但是，就像它的数字等价物一样，函数似乎正在测试（尽管不幸使用了“等同”一词）。简化函数是未简化函数的恒等式，但它不是等价物。根据文档，

sym/isequaln

可能会考虑一些事情，比如简单的关系，但它不会在内部执行转换和简化。这几乎是肯定的，因为简化是一个计算成本很高的过程，所以它很可能是一个设计决策，只包括一些定义良好（但没有充分记录）的测试

可能存在陷阱的解决方案

那么，你如何继续呢？除了

sym/isequaln

，符号数学工具箱还包括更严格地测试等式和不等式：

syms c a t
f = symfun(c + t - (2*(t - 2^(1/2)*(a*t)^(1/2))*(a - t/2))/(2*a - t), [c a t])
g = simplify(f)
isAlways(f==g)

但是，在R2014b中，这将返回

false

和以下警告：

Warning: Cannot prove 'c + t - ((2*t - 2*2^(1/2)*(a*t)^(1/2))*(a - t/2))/(2*a - t) == c +
2^(1/2)*(a*t)^(1/2)'. 
> In /Applications/MATLAB_R2014b.app/toolbox/symbolic/symbolic/symengine.p>symengine at 56
  In sym.isAlways at 38

您应该知道，默认情况下，符号变量被假定为复杂的，

总是试图为
c
、
a
和
t
的复杂值的所有可能组合证明这种关系。简化也是一个定义不清的过程——从以下文件中可以看出：

数学表达式的简化不是一个明确定义的主题。对于哪种形式的表达式最简单，还没有普遍的概念。对于一个问题来说最简单的数学表达式的形式可能很复杂，甚至不适合于另一个问题

如果你仔细观察你的原始方程，你会发现它包含了一个被简化掉的奇点。在R2014b中，评估
g（1,1,2）
返回
3
，但评估
f（1,1,2）
返回：

Error using mupadmex
Error in MuPAD command: Division by zero. [_power]
  Evaluating: _symans_32_15992

...

使用假设

如果您对符号变量有所了解，您可以通过应用假设来避免这种情况，例如

syms c a t
f = symfun(c + t - (2*(t - 2^(1/2)*(a*t)^(1/2))*(a - t/2))/(2*a - t), [c a t])
g = simplify(f)
assume(t>2*a)
isAlways(f==g)

现在返回
true
。顺便说一下，以@Benoit_11为例，
syms a b；我总是（（a+b）^2==a^2+2*a*b+b^2）
也会直接返回
true
。
通过在某一点上求值来检查等式几乎不构成证据。此外，正在使用重载的
sym/isequaln
，而不是
isequaln
——没有进行数值比较。我认为这并不能回答这个问题。为什么
isequaln
不返回true和/或如何测试这两个函数的相等性？+1个很好的答案！比我的好得多，而且在解释我不能解释的方面做得很好：）