Matlab：支持非素数模的线性同余解算器？

我正在编写一些Matlab代码，对给定的密码系统执行所谓的索引演算攻击（这涉及计算离散的日志值），除了一件小事之外，我已经完成了所有的工作。我不知道（在Matlab中）如何解同余的线性系统mod p，其中p不是素数。而且，这个系统有不止一个变量，所以，除非我遗漏了什么，否则中国剩余定理不会起作用

我问了一个关于mathematics stackexchange的问题，其中包含更多细节/格式化的mathjax。我在那个链接上解决了我问题中的问题，现在我正试图找到一个实用程序，它可以让我解非素数模的同余系。我确实找到了一个套件，其中包括一个支持模运算的解算器，但模必须是素数（）。我也尝试过单步修改它来处理非素数，但不管使用什么方法都不行，因为它要求系统的所有元素都有模p的逆

我已经研究过使用Matlab中的功能调用MuPAD函数，但是从我的测试来看，MuPAD函数

linsolve

（它似乎是最好的候选者）也不支持非素数模值。此外，我已经用Maple验证了这个系统是可解的，可以用我感兴趣的整数（8）模，所以可以这样做

更具体地说，这正是我试图在MuPAD中运行的命令：

linsolve([0*x + 5*y + 4*z + q = 2946321, x + 7*y + 2*q = 5851213, 8*x + y + 2*q = 2563617, 10*x + 5*y + z = 10670279],[x,y,z,q], Domain = Dom::IntegerMod(8))

Error: expecting 'Domain=R', where R is a domain of category 'Cat::Field' [linsolve]

如果我将域更改为IntegerMod（23）和IntegerMod（59407），相同的命令将返回正确的值，因此我认为8不合适，因为它不是素数。以下是我尝试上述命令时的输出，其中23和59407都是我的域：

[x = 1 mod 23, y = 1 mod 23, z = 12 mod 23, q = 14 mod 23]

[x = 14087 mod 59407, y = 1 mod 59407, z = 14365 mod 59407, q = 37320 mod 59407]

---

这些答案是正确的-

x

、

y

、

z

和

q

对应于上面我的Math.StackExchange链接上的一致性系统中的

L1

、

L2

、

L3

和

L4

。

我想知道您以前是否尝试过使用和，但可能传递了数值而不是符号值。例如，就您所寻找的内容而言，这会返回无意义的结果：

A = [0 5 4 1;1 7 0 2;8 1 0 2;10 5 1 0];
b = [2946321;5851213;2563617;10670279];
s = mod(linsolve(A,b),8)

但是，如果将数值转换为符号整数，

sym/linsolve

将以有理分数的形式保存所有内容。然后

s = mod(linsolve(sym(A),sym(b)),8)

返回期望的答案

s =

 6
 1
 6
 4

这只是解决了系统的线性系统使用符号数学，就好像它是一个正常的矩阵。对于大型系统来说，这可能会很昂贵，但我想象不出比使用MuPAD或。应返回每个溶液组分分子的模量。我相信，如果模和分母不一致，你会得到一个错误

sym/solve

也可用于以类似方式解决此问题：

L = sym('L',[4,1]);
[L1,L2,L3,L4] = solve(A*L==b);
s = mod([L1;L2;L3;L4],8)

使用

sym/solve

或

sym/linsolve

的一个可能问题是，如果线性同余问题有多个解决方案（与线性系统相反），此方法可能不会返回所有解决方案

最后，使用MuPAD函数（中国整数余数定理），这里有一些代码试图获得完整的解决方案：

A = [0 5 4 1;1 7 0 2;8 1 0 2;10 5 1 0];
b = [2946321;5851213;2563617;10670279];
m = 10930888;

mf = str2num(strrep(char(factor(sym(m))),'*',' '));
A = sym(A);
b = sym(b);
s = sym(zeros(length(b),length(mf)));
for i = 1:length(mf)
    s(:,i) = mod(linsolve(A,b),mf(i));
end

mstr = ['[' sprintf('%d,',mf)];
mstr(end) = ']';
r = sym(zeros(length(b),1));
for i = 1:length(b)
    sstr = char(s(i,:));
    r(i) = feval(symengine,'numlib::ichrem',sstr(9:end-2),mstr);
end
check = isequal(mod(A*r,m),b)

---

我不确定这是否是你想要的，但希望它能有所帮助。我认为在MathWorks中加入一个新的解决方案可能是一个好主意，这样MuPAD和其他解算器将来可以更好地处理系统。

我想知道您是否可以在上获得更多关于此类问题的帮助（以及更多关于此主题的内容）？当然，我也会在那里询问，谢谢您的提示！这是一个编程网站，所以展示一些代码和预期的输出总是很有帮助的。例如，在Math.StackExchange链接中显示的4乘4示例中使用的Matlab代码。我不清楚您所说的

linsolve

不工作是什么意思（甚至您所指的三个

linsolve

函数中的哪一个）。是不是你期望不止一个解决方案，而解决方案是？是否有实现此功能的C代码您可能可以创建一个mex函数。感谢您的回复-很抱歉，我之前没有任何代码。我已经添加了我看到的确切问题。如果还有什么我能提供的，请告诉我。我很抱歉-我不熟悉StackOverflow和StackExchange我非常无知，但是你不能用其他数值方法（例如

nlinfit

）来“粗暴地”求解线性系统的近似解吗？这一切看起来都很棒，尤其是关于将矩阵转换为符号的顶部部分-非常感谢！我刚刚尝试在我自己的机器上复制它，但我得到一个错误，linsolve不支持sym参数。这是新功能吗？在尝试了sym/linsolve帮助页面中的示例之后，我使用了7.11.0（R2010b），我得到了相同的错误：“对于'sym'类型的输入参数，未定义函数或方法'linsolve'。所以我猜R2010b中没有sym/linsolve？很抱歉，回复太晚了。多年来，符号数学工具箱Math toolbox发生了很大的变化，因此您可能不应该查看Google提供的在线文档（尽管旧版本的存档文档非常有用）。而是使用

doc

和

help

功能。即使R201b中不存在

sym/linsolve

，我想您也可以使用上面显示的

sym/solve

版本。您可能需要将矩阵方程转换为四个字符串方程-我不知道。不用担心-谢谢您的回复！实际上我一直在尝试使用solve函数，但是我遇到了问题。我请求帮助解决另一个问题