Matrix 如何有效地进行矩阵乘法

我有一个大矩阵M（M是正定的），维数为（1000010000），我想做以下操作：

r = transpose(e_i - e_j) * M * (e_i - e_j)

where e_i is zeros vector(10000 x 1) with all zero entries except at ith entry

我想为（e_1，e_2）…（e_1，e_10000）…执行此操作。。。i、 e所有i，j对都属于{110000}

我试过了

-do the calculation directly
-Cholesky factorization 

然而，这两种方法都需要很长时间。他们花了>=0.5秒完成了一次计算，因此在时间上不可行

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是否有任何方法/库可以尝试加速此过程？

您应该了解它是为O（n^2.8）中的大型矩阵相乘而设计的。示例实现

您的表达式是

转置（e_i-e_j）*M*（e_i-e_j）

。让我们取最后一部分，即

M*（e_i-e_j）

，然后将其相乘得到

M*e_i-M*e_j

现在由于

e_i

是零，除了

i

th元素

M*e_i

只是选择

M

的

i

th列，我们不需要计算

M[：，i]

。用

ei

再次取点积，这就得到了

M[i，i]

将您的表达完全放大，并将此想法应用于所有4个术语，即可得到@dmuir在上述评论中给出的答案：

r = M[i,i] - M[j,i] - M[i,j] + M[j,j] 

这个表达式应该非常快，并且（原则上）完全不依赖于矩阵的大小。所以你实际上根本不需要任何矩阵运算来计算你想要的

既然你说你想对所有i，j对都这样做，那么你可能想得到一个矩阵

R

，这样

R[i，j]

就像上面给出的

R

一样。你可以在

i，j

上做一个循环，或者你可以用类似

d = np.array([np.diag(a)])
R = d + d.T - M - M.T

对于你说的尺寸，我预计整个操作将在1秒左右完成

考虑到矩阵的大小，我可能会尽量避免使用临时变量

d = np.array([np.diag(a)])
R = d + d.T
R -= M
R -= M.T

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r=M[i，i]-M[j，i]-M[i，j]+M[j，j]的可能副本