Matrix Isabelle：具有常数因子的转置矩阵等式的证明

我面临以下引理的问题，我认为应该是正确的。我可以用很小的步骤证明到某一点，但是我还没有找到证明整个引理的方法

lemma abc:
  fixes A :: "'a::comm_ring_1^'n^'n" and l :: 'n and c :: 'a
  shows "(χ i j. if i = l then c * (transpose A $ i $ j) else (transpose A $ i $ j)) = 
         (χ i j. if i = l then c * (A $ j $ i) else (A $ j $ i))"
proof -
  (* here is my draft *)
  have th1: "(χ i j. transpose A $ i $ j) = (χ i j. A $ j $ i)"
    by (simp add: det_transpose transpose_def)
  have "(χ i j. if i = l then (transpose A $ i $ j) else (transpose A $ i $ j)) =
    (χ i j. A $ j $ i)" by (metis column_def row_def row_transpose)
  show ?thesis sorry
qed

---

在伊莎贝尔开始证明某些东西之前，你应该知道如何在纸上证明它。经验丰富的伊莎贝尔用户并不总是听从自己的建议；。如果你知道如何在纸上证明它，那么如何将纸上的证据翻译成Isabelle/Isar可能还不太清楚。然而，这将使你更容易帮助并表明你理解手头的数学问题，而这与伊莎贝尔本身无关

在下文中，我将解释如何进行此类证明：

lemma abc:
  fixes A :: "'a::comm_ring_1^'n^'n" and l :: 'n and c :: 'a
  shows "(χ i j. if i = l then c * (transpose A $ i $ j) else (transpose A $ i $ j)) = 
         (χ i j. if i = l then c * (A $ j $ i) else (A $ j $ i))"

我注意到的第一件事是抽象χI j。。。。如果我想证明一些关于普通lambda抽象的东西，我肯定想首先去掉它们，例如，为了证明两个函数f和g相等，我会证明所有x的fx=gx。这在伊莎贝尔身上是通过规则表达出来的

ext: (⋀x. ?f x = ?g x) ⟹ ?f = ?g

因为我对多元_分析知之甚少，所以我试图通过

第一个命中目标是我要搜索的，即

Determinants.Cart_lambda_cong: (⋀x. ?f x = ?g x) ⟹ vec_lambda ?f = vec_lambda ?g

因此，我首先使用介绍规则名称应用此规则两次，介绍规则名称尽可能经常应用：

proof (intro Cart_lambda_cong)

现在我必须证明，对于任意I和j，当替换χ参数时，该语句成立，即

  fix i j
  show "(if i = l then c * (transpose A $ i $ j) else (transpose A $ i $ j)) = 
        (if i = l then c * (A $ j $ i) else (A $ j $ i))"

然后应用转置的定义完成证明：

或者我们可以做的不是上面的逐步证明

by (auto intro!: Cart_lambda_cong simp: transpose_def)

---

在哪里！在介绍告诉系统应积极应用此规则后，如果没有！，但别问我为什么；，我们必须检查应用规则的痕迹以找出答案。

在伊莎贝尔开始证明某些东西之前，你应该知道如何在纸上证明它。经验丰富的伊莎贝尔用户并不总是听从自己的建议；。如果你知道如何在纸上证明它，那么如何将纸上的证据翻译成Isabelle/Isar可能还不太清楚。然而，这将使你更容易帮助并表明你理解手头的数学问题，而这与伊莎贝尔本身无关

在下文中，我将解释如何进行此类证明：

lemma abc:
  fixes A :: "'a::comm_ring_1^'n^'n" and l :: 'n and c :: 'a
  shows "(χ i j. if i = l then c * (transpose A $ i $ j) else (transpose A $ i $ j)) = 
         (χ i j. if i = l then c * (A $ j $ i) else (A $ j $ i))"

我注意到的第一件事是抽象χI j。。。。如果我想证明一些关于普通lambda抽象的东西，我肯定想首先去掉它们，例如，为了证明两个函数f和g相等，我会证明所有x的fx=gx。这在伊莎贝尔身上是通过规则表达出来的

ext: (⋀x. ?f x = ?g x) ⟹ ?f = ?g

因为我对多元_分析知之甚少，所以我试图通过

第一个命中目标是我要搜索的，即

Determinants.Cart_lambda_cong: (⋀x. ?f x = ?g x) ⟹ vec_lambda ?f = vec_lambda ?g

因此，我首先使用介绍规则名称应用此规则两次，介绍规则名称尽可能经常应用：

proof (intro Cart_lambda_cong)

现在我必须证明，对于任意I和j，当替换χ参数时，该语句成立，即

  fix i j
  show "(if i = l then c * (transpose A $ i $ j) else (transpose A $ i $ j)) = 
        (if i = l then c * (A $ j $ i) else (A $ j $ i))"

然后应用转置的定义完成证明：

或者我们可以做的不是上面的逐步证明

by (auto intro!: Cart_lambda_cong simp: transpose_def)

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在哪里！在介绍告诉系统应积极应用此规则后，如果没有！，但别问我为什么；，我们必须检查应用规则的踪迹才能找到答案。

查看引理可以发现转置A$i$j=A$j$i对所有A，i，j都有效，这可以通过简化程序轻松证明：

lemma transpose_eq: "⋀i j. transpose A $ i $ j = A $ j $ i" by (simp add: transpose_def)

如果我们用subst方法手工应用这个方程，你的引理可以很容易地解出来 只是重写if表达式的分支：

lemma abc:
  fixes A :: "'a::comm_ring_1^'n^'n" and l :: 'n and c :: 'a
  shows "(χ i j. if i = l then c * (transpose A $ i $ j) else (transpose A $ i $ j)) = 
         (χ i j. if i = l then c * (A $ j $ i) else (A $ j $ i))"
  apply (subst transpose_eq)
  apply (subst transpose_eq)
  apply (rule refl)
  done

因此，我们应该能够使用带有apply simp add:transpose_eq的简化器，而不是subst，对吗？它不起作用的原因是一致性规则。基本上，简化者知道一条规则if_weak_cong，该规则明确禁止简化if表达式的分支。将目标保持在可管理的大小通常是一个好主意。因此，我们需要删除此规则：

  apply (simp add: transpose_def cong del: if_weak_cong)

解你原来的引理

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有关更深入的答案，请参见。

查看引理，可以发现转置a$i$j=a$j$i适用于所有a，i，j，这可以通过简化器轻松证明：

lemma transpose_eq: "⋀i j. transpose A $ i $ j = A $ j $ i" by (simp add: transpose_def)

如果我们用subst方法手工应用这个方程，你的引理可以很容易地解出来 只是重写if表达式的分支：

lemma abc:
  fixes A :: "'a::comm_ring_1^'n^'n" and l :: 'n and c :: 'a
  shows "(χ i j. if i = l then c * (transpose A $ i $ j) else (transpose A $ i $ j)) = 
         (χ i j. if i = l then c * (A $ j $ i) else (A $ j $ i))"
  apply (subst transpose_eq)
  apply (subst transpose_eq)
  apply (rule refl)
  done

因此，我们应该能够使用带有apply simp add:transpose_eq的简化器，而不是subst，对吗？它不起作用的原因是一致性规则。基本上，简化者知道一条规则if_weak_cong，该规则明确禁止简化if表达式的分支。将目标保持在可管理的大小通常是一个好主意。因此，我们需要删除此规则：

  apply (simp add: transpose_def cong del: if_weak_cong)

解你原来的引理

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要获得更深入的答案，请参阅。

请经常参阅，将引理尽可能一般化是一个好主意。所以如果你能证明pij=qij，不要证明χij。P i j=χi j。Q i j，谢谢你，拉尔斯。我先这么做了，但想排除这是一个错误源，所以选择了长的一个。经常看到，让你的引理尽可能一般是一个好主意。所以如果你能证明pij=qij，不要证明χij。P i j=χi j。Q i j，谢谢你，拉尔斯。我先这么做了，但想排除这是一个错误源，所以我花了很长的时间。谢谢你的回答。我认为两个答案都一样好，但我不得不挑一个。谢谢你的回答。我认为两个答案都一样好，但必须选择一个。