Matrix 伴随矩阵复杂性

我知道这更像是一个复杂性理论问题，而不是一个编程问题，希望我没有在这里写错字，如果写错了地方，请向我道歉，但我希望你们中的某个人能找到答案。它甚至与程序有关，因为它是一个复杂性理论的研究课题

我在研究线性循环序列，我读到为了得到序列的第n个值，你需要得到一个伴随矩阵的幂，我想知道是否有一个已知的算法可以快速得到这种矩阵的幂

我无法给出编码示例，但我将尝试为您提供更多解释：

k阶齐次线性循环序列：
s（n+k）=a（k-1）s（n+k-1）+a（k-2）s（n+k-2）+…+a（0）
对于n=0,1，。。其中s（i）是序列的第i个值，a（i）是代数域中的系数

A是上述序列的伴随矩阵，如果它是：
（0…0 a（0））
（1000…0A（1））
（0 1 0 0…0 a（2））
（……）
（0…1A（k-1））
此外，理论表明，对于序列的状态向量，我们有：
s（n）=s（0）A^n表示n=0,1

---

就这样，谢谢你的帮助

快速求矩阵幂的常用策略是对其进行对角化（执行特征向量分解）：

A=p-1 D p

其中D是对角矩阵。然后可以通过计算将A提高到n的幂

An=p-1 Dn p

其中Dn的计算速度很快，因为它是一个对角矩阵，所以只需分别计算每个元素的幂

---

然而，并不是所有的矩阵都是可对角化的——我不知道你们的伴随矩阵是否是可对角化的。您可能会发现在任何情况下都有帮助。

您可以使用

O（logn）

矩阵乘积计算矩阵的

n

th次方

M

：

• 如果

  n=0

  ，则返回

  I

• 如果

  n

  为偶数，则计算

  n=M

  n/2

  并返回

  n*n

• 如果

  n

  为奇数，则计算

  n=M

  n-1

  并返回

  M*n

---

它并不总是可对角化的，除非特征多项式的根是不同的，总之，好吧，这很好，但我想知道是否有某种方法可以利用矩阵的结构，很抱歉，我不知道如何在O（logn）中实现，我想每个矩阵乘法都是O（n^2）其中n是行数（假设是一个平方矩阵），不是吗？哦，好的，读得好吗：D是O（logn）*矩阵乘积的成本，所以它将是O（n^2 logn），对吗？谢谢，但我想这不是我需要的，我想知道一种特殊类型矩阵的开发…不完全是。矩阵积（被认为）比这更难，但是矩阵的大小，比如说m×m，与指数n完全无关，所以对于Strassen算法是O（m^2.807 logn），对于naive算法是O（m^3 logn）。