Matrix 在Mathematica中，如何计算P（A），其中P是多项式，A是方阵？

supose我定义了一个如下的矩阵：

A= {{1,1},{2,2}}

现在我们要计算^2+3A-3Id，其中^2当然是A.A

mathematica中用于执行此操作的语法是：

MatrixPower[A,2] + 3A + 3 IdentityMatrix[2]

是否可以更改de运算符的行为以便能够写入

A^2 + 3A - 3Id

得到正确的答案

或者

applyPoly[x + 3x + 3, x, A]

还是像这样

我想找些借口，但我做不到

---

提前感谢…

我编写了applyPoly函数，如下所示

A_？矩阵xq

检查输入

A

是否确实是矩阵，输入

var

是多项式变量，在您的问题中是

x

。变量

c

包含多项式的系数列表，从幂零开始

applyPoly[poly_, var_, A_?MatrixQ] :=
    With[{c = CoefficientList[poly, var]}, 
    c.MapIndexed[MatrixPower[A, #2[[1]]-1]&, c]]

在版本9中，您可以像中一样使用

MatrixFunction

MatrixFunction[#^2+3#-3&,A]

---

我编写了applyPoly函数，如下所示

A_？矩阵xq

检查输入

A

是否确实是矩阵，输入

var

是多项式变量，在您的问题中是

x

。变量

c

包含多项式的系数列表，从幂零开始

applyPoly[poly_, var_, A_?MatrixQ] :=
    With[{c = CoefficientList[poly, var]}, 
    c.MapIndexed[MatrixPower[A, #2[[1]]-1]&, c]]

在版本9中，您可以像中一样使用

MatrixFunction

MatrixFunction[#^2+3#-3&,A]

---

因为您希望Mathematica将^2解释为MatrixPower[A，2]，这肯定涉及重载标准定义，这通常是不好的

我建议的方法也略微修改了标准定义，但感觉更容易接受：

OverHat[x_] := operator[x]

Format[operator[x_]] := OverscriptBox[x, "^"] // DisplayForm

Times[o_operator, oRest__operator] ^:=
 operator[Dot @@ Identity @@@ Hold[o, oRest]]

Plus[o_operator, oRest__operator] ^:=
 operator[Plus @@ Identity @@@ Hold[o, oRest]]

Times[n_?NumberQ, operator[m_?MatrixQ]] ^:=
 operator[Times[n, m]]

Plus[n_?NumberQ, operator[m_?MatrixQ]] ^:=
 operator[Plus[Times[n, IdentityMatrix[Length[m]]], m]]

Power[operator[m_?MatrixQ], n_] ^:=
 operator[MatrixPower[m, n]]

算子

将矩阵代数（在数学意义上）同态映射到一些抽象算子的代数。由于它与w.r.t.

Plus

、

Times

和

Power

同态，因此可以轻松地将多项式应用于运算符

表达式A对应的运算符将打印为。您也可以通过这种方式输入运算符，即“A，Ctrl+&，“^”，Ctrl+Space”我在这里和下面使用的Unicode字符与Mathematica的OverHat[A]不同。

现在你可以做像这样的事情

x^2 + 3 x - 3 /. x -> Â

对于符号运算符。或使用坐标执行计算：

In[1]:= A = {{2, -20, -10}, {0, 4, 1}, {0, -6, -1}};
In[2]:= x^3 - 5 x^2 + 8 x - 4 /. x -> Â

它将发展为零运算符（这是的特征多项式）。请注意，它将是一个零运算符，而不是一个零矩阵，虽然它看起来几乎像一个，但它上面有一个帽子，这反过来看起来就像中间零上的帽子。（此错误可以修复。）

定义

operator[m_?MatrixQ][v_List] := m.v

然后可以将运算符（以及应用于运算符的多项式）应用于向量：

In[3]:= Â[{0, -1, 2}]
Out[3]= {0, -2, 4}

（对应于特征值2的特征向量）

---

我还没有实现可靠的错误检查，但我希望您能理解这个想法，如果您喜欢的话，可以进行改进。

因为您希望Mathematica将^2解释为MatrixPower[A，2]，这肯定涉及到重载标准定义，这通常是不好的

我建议的方法也略微修改了标准定义，但感觉更容易接受：

OverHat[x_] := operator[x]

Format[operator[x_]] := OverscriptBox[x, "^"] // DisplayForm

Times[o_operator, oRest__operator] ^:=
 operator[Dot @@ Identity @@@ Hold[o, oRest]]

Plus[o_operator, oRest__operator] ^:=
 operator[Plus @@ Identity @@@ Hold[o, oRest]]

Times[n_?NumberQ, operator[m_?MatrixQ]] ^:=
 operator[Times[n, m]]

Plus[n_?NumberQ, operator[m_?MatrixQ]] ^:=
 operator[Plus[Times[n, IdentityMatrix[Length[m]]], m]]

Power[operator[m_?MatrixQ], n_] ^:=
 operator[MatrixPower[m, n]]

算子

将矩阵代数（在数学意义上）同态映射到一些抽象算子的代数。由于它与w.r.t.

Plus

、

Times

和

Power

同态，因此可以轻松地将多项式应用于运算符

表达式A对应的运算符将打印为。您也可以通过这种方式输入运算符，即“A，Ctrl+&，“^”，Ctrl+Space”我在这里和下面使用的Unicode字符与Mathematica的OverHat[A]不同。

现在你可以做像这样的事情

x^2 + 3 x - 3 /. x -> Â

对于符号运算符。或使用坐标执行计算：

In[1]:= A = {{2, -20, -10}, {0, 4, 1}, {0, -6, -1}};
In[2]:= x^3 - 5 x^2 + 8 x - 4 /. x -> Â

它将发展为零运算符（这是的特征多项式）。请注意，它将是一个零运算符，而不是一个零矩阵，虽然它看起来几乎像一个，但它上面有一个帽子，这反过来看起来就像中间零上的帽子。（此错误可以修复。）

定义

operator[m_?MatrixQ][v_List] := m.v

然后可以将运算符（以及应用于运算符的多项式）应用于向量：

In[3]:= Â[{0, -1, 2}]
Out[3]= {0, -2, 4}

（对应于特征值2的特征向量）

---

我还没有实现可靠的错误检查，但我希望您能理解我的想法，如果您喜欢的话，可以进行改进。

我认为最好使用霍纳规则的矩阵形式来计算多项式。对于多项式p（x）=a+bx+cx^2+dx^3+…，我们提取系数列表（a，b，c，d…）并递归计算

h(()) = 0;

h((a, b, c, d, ...)) =  a + x h((b, c, d, ...)).  

矩阵版本将是

h(()) = 0;
h((a, b, c, d, ...), A) =  a I +  A. h((b, c, d, ...), A),

其中I是单位矩阵。Mathematica代码：

MatrixHorner[coeffs_, A_] := Module[{size = Length[A]},
If[coeffs == {}, ConstantArray[0, {size, size}],
First[coeffs] IdentityMatrix[size] + A.MatrixHorner[Rest[coeffs], A]]
]

ApplyPoly[p_, var_, A_?MatrixQ] := 
Module[{c = CoefficientList[p, var]},
MatrixHorner[c, A]
]

你的例子是：

q = -3 + 3 x + x^2
A = {{1, 1}, {2, 2}}
ApplyPoly[q, x,  A]

输出：

{{3, 6}, {12, 9}}

---

我认为这一点是，涉及的矩阵乘法要少得多；矩阵乘法的总数就是多项式的次数。

我认为最好使用霍纳规则的矩阵形式来计算多项式。对于多项式p（x）=a+bx+cx^2+dx^3+…，我们提取系数列表（a，b，c，d…）并递归计算

h(()) = 0;

h((a, b, c, d, ...)) =  a + x h((b, c, d, ...)).  

矩阵版本将是

h(()) = 0;
h((a, b, c, d, ...), A) =  a I +  A. h((b, c, d, ...), A),

其中I是单位矩阵。Mathematica代码：

MatrixHorner[coeffs_, A_] := Module[{size = Length[A]},
If[coeffs == {}, ConstantArray[0, {size, size}],
First[coeffs] IdentityMatrix[size] + A.MatrixHorner[Rest[coeffs], A]]
]

ApplyPoly[p_, var_, A_?MatrixQ] := 
Module[{c = CoefficientList[p, var]},
MatrixHorner[c, A]
]

你的例子是：

q = -3 + 3 x + x^2
A = {{1, 1}, {2, 2}}
ApplyPoly[q, x,  A]

输出：

{{3, 6}, {12, 9}}

---

我认为这一点是，涉及的矩阵乘法要少得多；矩阵乘法的总数就是多项式的次数。

当你问起如何更改运算符的行为时，你的意思是想输入，例如，

A^2

，让Mathematica明白这一点吗？是的，这就是我的意思。我没有时间公正地回答这个问题（家人正在把我拉开）但是您应该查看

取消保护
以允许对运算符进行更改，以及
/
指定定义的条件。使用类似于
m_^n:=MatrixPower[m，n]/MatchQ[Dimension[m]，{n_u，n_u}]
。。。或者类似的。这都是我说的