Module 有界自然的Coq-MSet

我试图为一组具有给定上界的自然数定义一个类型。标准库的

MSet

似乎是一条出路。我发现这是一个很好的例子，说明了如何定义一组

nat

。但是，我不知道如何将其扩展到子集类型。我试过这样的方法：

Module OWL.
  Parameter n : nat.
  Definition t := {i:nat | i<n}.
  Definition eq := @eq t.
  Instance eq_equiv : @Equivalence t eq := eq_equivalence.
  Definition lt (a b:t) := Peano.lt (proj1_sig a) (proj1_sig b).
  Instance lt_strorder : @StrictOrder t lt.
  ...

Module BoundedMNatSets := MakeWithLeibniz OWL.
Definition BoundedMNatSetN (n:nat) : Type := BoundedMNatSets n.

---

另外，这个问题可能源于我对Coq模块系统的理解不足，而不是特定于集合。

您需要使用函子。比如：

Require Import Orders.

Module Type FIXED_NAT.
    Parameter n : nat.
End FIXED_NAT.

Module OWL (N : FIXED_NAT) <: OrderedType.
    Definition t := {i:nat | i < N.n}.
    ...
End OWL.

编辑： 那么：

Require Import Orders.
Require Import OrdersEx.
Require Import MSets.
Require Import Arith.

Module M := Make Nat_as_OT.

Definition has_upper_bound s n := M.For_all (ge n) s.

Definition t n := {s : M.t | has_upper_bound s n}.

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我想我的问题不在于排序，而在于参数化。我希望有一个由<代码> n>代码>参数化的集合。恐怕你需要使用一个函子。我不太清楚你在想什么应用程序，但是你考虑过类型类还是规范结构。我会欣然地考虑类型类。我需要的是支持有界自然数集的相当基本的库。我需要构造这些集合，最好使用索引函数，并执行简单的基本操作，如集合并集、交集和差集。我研究了数学课程必须提供的内容，但我没有想到如何将这些轻松地应用到有界自然中。请举个小例子，不胜感激！因为我已经在用数学课了，所以也可以用它来做集合！谢谢这有点帮助，但这并不是我想要实现的。我希望将

n

作为MNatSet类型的参数，这样我就可以在不同的情况下使用不同的大小，而无需每次实例化一个模块。例如，使用

Ensembles

我可以这样做：需要导入Coq.set.Ensembles。定义EFinNatSet（n:nat）：类型：=集合{x:nat |（xI正在使用您在更新中建议的最后一个解决方案。它看起来很有趣。一旦我更好地理解它，我将在这里更新。谢谢！建议的方法似乎对我有效。我有一个快速的后续问题：1）为什么你选择了

bool

而不是

prop

.2）为什么

fold

而不是

For_all

3）我如何得到这个集合的额外引理，比如MSetFacts或MSetInterface？谢谢！附言。这里有一个小例子，修改你对prop/Forall的建议，并试图用它证明一个简单的引理。任何评论都非常好有些问题。真的很好的问题！2）是因为我不知道所有人的

，1）是因为我不知道所有人的
。我会更新答案。我不确定我是否理解3）。基本答案是应用函子，如
模块F:=Facts M.
。如果你想同时导入，你可以直接执行
Module导入F:=Facts M.
。
Require Import Orders.
Require Import OrdersEx.
Require Import MSets.
Require Import Arith.

Module M := Make Nat_as_OT.

Definition has_upper_bound s n := M.For_all (ge n) s.

Definition t n := {s : M.t | has_upper_bound s n}.