Normalization PCA和SVD对相同单位数据的不同结果

在开始的时候，我有400000张被标准化的图像（灰度值增加）。之后，我对每张图片进行DFT，得到了400000个样本和3200个绝对傅里叶系数的数据

现在我想做一个PCA和SVD因为我的数据已经标准化，所有值都有相同的单位，所以我想我可以使用“原始数据”进行计算。 然而，主成分分析的特征值和奇异值是不同的。（显示图片/链接）

我做错了什么？如何为PCA和SVD提供数据？标准化，标准化，原始

请帮帮我！多谢各位

我的代码：

# samples 400000x3200
# SVD
U,S,VT = svd(samples, full_matrices=False) 

tot_S = sum(S)
var_exp_S = [(i / tot_S) for i in S]
cum_var_exp_S = np.cumsum(var_exp_S)

# PCA
cov_mat = np.cov(samples.T)
eigen_vals, eigen_vecs = np.linalg.eig(cov_mat)
eigen_vals = np.asarray(sorted(eigen_vals,reverse=True))

tot = sum(eigen_vals)
var_exp = [(i / tot) for i in eigen_vals]
cum_var_exp = np.cumsum(var_exp)


num= 3200
plt.figure(figsize=(10,5))
plt.subplot(121)
plt.title('PCA')
plt.step(range(1,num+1),cum_var_exp[:num], where='mid',color='r')
plt.ylabel('share of variance')
plt.xlabel('principal components')
plt.legend()
plt.grid()

plt.subplot(122)
plt.title('SVD')
plt.step(range(1,num+1),cum_var_exp_S[:num], where='mid',color='r')
plt.ylabel('share of variance')
plt.xlabel('principal components')
plt.legend()
plt.grid()

PCA中存在一些“正常化”。 下面是我自己的PCA库中的代码：

//normalize to center
centred = center( samples );
//normalize to square matrix
matrix = cov( centred );
//eigenvalue decomposition
vectors = evd( matrix );
//get normalized eigenvectors:
eigenvectors = get_eigenvectors( vectors );
//get eigenvalues:
eigenvalues = get_eigenvalues( vectors );

描述如下：M*M的特征值是M的奇异值的平方。

这里是一个示例：

import numpy as np
from scipy.linalg import svd
from sklearn.preprocessing import StandardScaler

X_train = np.asarray([[13.71,1.86,2.36,16.6],[12.22,1.29,1.94,19],
       [13.27,4.28,2.26,20],[13.16,3.57,2.15,21],
       [13.86,1.51,2.67,25]])

#PCA
sc = StandardScaler()
X_train_std = sc.fit_transform(X_train)

cov_mat = np.cov(X_train_std.T)
eigen_vals, eigen_vecs = np.linalg.eigh(cov_mat)
eigen_vals = np.asarray(sorted(eigen_vals, reverse=True))

#SVD
U,eigen_vals_S,V = svd(X_train)
eigen_vals_S2 = (eigen_vals_S**2)

print('\nEigenvalues \n%s' % eigen_vals)
print('\nS \n%s' %eigen_vals_S)
print('\nS**2 \n%s' %eigen_vals_S2)re

输出（特征值和值**2不同）：

特征值 [2.79331043 1.28393579 0.90313734 0.01961644]

[55.02775284 3.37434634 2.52347705 0.28664958]

S**2 [3.02805358e+03 1.13862132e+01 6.36793643e+00 8.2167982E-02]

现在有相同的结果：

#Same eigenvalues
eigen_vals, eigen_vecs = np.linalg.eigh((X_train.T).dot(X_train))
eigen_vals = np.asarray(sorted(eigen_vals, reverse=True))

#SVD
U,eigen_vals_S,V = svd(X_train)
eigen_vals_S2 = (eigen_vals_S**2)

print('\nEigenvalues \n%s' % eigen_vals)
print('\nS \n%s' %eigen_vals_S)
print('\nS**2 \n%s' %eigen_vals_S2)

输出：

特征值 [3.02805358e+03 1.13862132e+01 6.36793643e+00 8.2167982E-02]

[55.02775284 3.37434634 2.52347705 0.28664958]

S**2 [3.02805358e+03 1.13862132e+01 6.36793643e+00 8.2167982E-02]

这就是我不明白的。标准化和cov（）的方法是PCA的方法。但正如你所看到的，有不同的结果，这取决于我如何计算特征值

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我有什么地方错了吗？为什么会错？

这些图像来自数据集（400000x3200）：

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pca的归一化由cov（）完成。数值问题可能会引起争议。我建议使用一些来自wikipedia或类似网站的简单数据来验证您的类型变量。（我不记得svd和pca之间的依赖关系，因为在我的库中我使用power迭代而不是svd）首先，非常感谢您的回答。我发现我在代码中使用的svd函数有一个依赖关系：“相应的（可能非零）特征值由s**2给出。”所以关于你的答案，我不需要cov（），因为数据已经标准化了？然后我可以直接用np.linalg.eigh（（samples.T）.dot（samples）的“原始数据”计算特征值？不，我想你需要SVD。我只是和你一起做，因为我不想自己实现SVD。对于标准化，问题可能是你的意思。PCA中有一些部分做了一些标准化。我把它放在一个答案中…：所以我应该对原始数据使用PCA/SVD？这取决于你想用它做什么。PCA Normaly做奇异值分解以得到结果。你对奇异值的计划是什么？（我以前从未使用过它们。）好的，我试着用一个单独的答案来解释它…奇异值分解返回奇异值，而不是特征值。正如我的答案中所述，它们是相关的，但不是相等的，而是与奇异值分解的描述有关，即“在这两种情况下，对应的（可能非零）特征值由s**2给出。”当我对奇异值进行平方时，它应该是相同的……还是不？据我所知，它是：特征值_i（PCA（M*M））==奇异值_i（M）^2如果你只是想验证特征值，还有其他方法。我总是用pca的分数重建样本，这显示了数值问题。但我用标准化和cov（）的“手动”方法是pca，不是吗？