Optimization 混合整数线性规划；当且仅当；包含非二进制变量的约束

有一个限制

c[i]=j iff b[i][j]=1

其中i，j是大于0的整数，b[i][j]是二进制数

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你知道如何在线性规划中表达这个约束吗？谢谢大家!

这个问题没有人们想象的那么清楚。最好的答案是：“视情况而定”

看着

  c[i]=j iff b[i][j]=1            (1)

单独而言，我们需要实施以下影响：

  b[i][j]=1  =>  c[i]=j           (2)
  b[i][j]=0  =>  c[i]<>j          (3)

b[i][j]=1=>c[i]=j（2）
b[i][j]=0=>c[i]j（3）

（2） 可以使用指标约束实现。第二个（3）更为复杂，因为我们需要执行以下操作：

  b[i][j]=0  =>  c[i]<j or c[i]>j    (4)

b[i][j]=0=>c[i]j（4）

这将需要至少一个额外的二进制变量来处理“or”。一种方法是：

  b[i][j]=0  =>  c[i]<=j-1+M⋅δ        (5)
  b[i][j]=0  =>  c[i]>=j+1-M⋅(1-δ)    (6)
  δ ∈ {0,1}                           (7)
  M = card(j)                         (8)

b[i][j]=0=>c[i]c[i]>=j+1-M⋅(1-δ)    (6)
δ ∈ {0,1}                           (7)
M=卡（j）（8）

M=card（j）

只是一个常数，表示集合j的大小。当然，这不是实现这一目标的唯一途径。注意，我混合使用了指标约束和大M约束。这也可以完全用指标约束（需要额外的二进制变量）或仅用大M约束来表示

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虽然我们可以（通过一些努力）实现（3），但很可能我们不需要它。很可能，我们唯一需要的就是暗示（2）。与大多数问题一样，如果不看模型的其余部分，就很难给出好的答案。

问题并不像人们想象的那么清楚。最好的答案是：“视情况而定”

看着

  c[i]=j iff b[i][j]=1            (1)

单独而言，我们需要实施以下影响：

  b[i][j]=1  =>  c[i]=j           (2)
  b[i][j]=0  =>  c[i]<>j          (3)

b[i][j]=1=>c[i]=j（2）
b[i][j]=0=>c[i]j（3）

（2） 可以使用指标约束实现。第二个（3）更为复杂，因为我们需要执行以下操作：

  b[i][j]=0  =>  c[i]<j or c[i]>j    (4)

b[i][j]=0=>c[i]j（4）

这将需要至少一个额外的二进制变量来处理“or”。一种方法是：

  b[i][j]=0  =>  c[i]<=j-1+M⋅δ        (5)
  b[i][j]=0  =>  c[i]>=j+1-M⋅(1-δ)    (6)
  δ ∈ {0,1}                           (7)
  M = card(j)                         (8)

b[i][j]=0=>c[i]c[i]>=j+1-M⋅(1-δ)    (6)
δ ∈ {0,1}                           (7)
M=卡（j）（8）

M=card（j）

只是一个常数，表示集合j的大小。当然，这不是实现这一目标的唯一途径。注意，我混合使用了指标约束和大M约束。这也可以完全用指标约束（需要额外的二进制变量）或仅用大M约束来表示

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虽然我们可以（通过一些努力）实现（3），但很可能我们不需要它。很可能，我们唯一需要的就是暗示（2）。与大多数问题一样，如果不考虑模型的其余部分，就很难给出好的答案。

i>0和j>0以及c[i]=j和b[i][j]=1

i>0和j>0以及c[i]=j和b[i][j]=1