Optimization 如何优化此计算

我正在编写一个模型检查器，它依赖于一个系数的计算，该系数由以下算法密集使用：

!！[备选案文][1]

其中，

q

是双精度，

t

也是双精度，

k

int.

e

代表指数函数。该系数用于

q

和

t

不改变的步骤，而

k

总是从0开始，直到（该步骤的）所有先前系数之和达到1为止

我的第一个实现是文字实现：

let rec fact k =
  match k with
    0 | 1 -> 1
    | n -> n * (fact (k - 1))

let coeff q t k = exp(-. q *. t) *. ((q *. t) ** (float k)) /. float (fact k)

当然，这并没有持续太久，因为当

k

超过一个小阈值（15-20）时，计算整个阶乘是不可行的：显然结果开始变得疯狂。因此，我通过增量分区重新安排了整个过程：

let rec div_by_fact v d =
  match d with
    1. | 0. -> v
    | d -> div_by_fact (v /. d) (d -. 1.)

let coeff q t k = div_by_fact (exp(-. q *. t) *. ((q *. t) ** (float k))) (float k)

当

q

和

t

足够“正常”时，这个版本运行得很好，但当事情变得奇怪时，例如

q=50.0

和

t=100.0

我开始从

k=0到100

计算它，我得到的是一系列0，后面是从某个数字到最后的NaN

当然，这是由数字开始太接近0的操作或类似问题造成的

您知道我如何优化公式，以便在广泛的输入范围内提供足够准确的结果吗

所有内容都应该是64位的（因为我使用的是默认情况下使用double的OCaml）。也许有一种方法也可以使用128位双工，但我不知道如何使用

我使用OCAML，但你可以用你想要的任何语言提供想法：C、C++、java等等。我很用它们。

qt^k/k! = e^[log[qt^k/k!]]
log[qt^k/k!] = log[qt^k] - log[k!] // log[k!] ~ klnk - k  by stirling
             ~ k ln(qt) - (k lnk - k)
             ~ k ln(qt/k) - k

对于较小的k值，斯特林近似是不精确的。 然而，由于您似乎在执行有限的已知范围，所以可以计算

log[k！]

并将其放入数组中，以避免任何错误

当然，你可以做更多的修改。

这不是一个答案（我相信），但可能只是一个澄清。如果我误解了什么，我会在你的评论后删除它

据我所知，你在试图计算n，比如下面的和等于1

正如你可能看到的，它渐近地接近1，它永远不会等于1。

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如果我误解了你的问题，请纠正我。

拿

log

+sum（k=0，…）x^k/k！==exp（x），所以看起来您正在执行exp（-qt）*exp（qt）=1。还是我遗漏了什么？请注意，如果qt较大，则可以使用exp（qt）=exp（qt/2）^2，也就是说，您可以将qt除以2足够的次数，以使序列变短，然后将该次数平方以获得所需的答案。不确定这是否对你所做的有用。是的，你是对的，我使用了equal，但我的意思是足够接近1.0。我实际上要做的是选择一个错误，例如

e=1e-6

，这样

sum>1-e

。我尝试了你建议的分析方法，但仍然没有获得类似的结果。。我会继续努力！同时，我分解了操作以保持在浮动范围内。