Optimization 寻找一个有效的结构来检查哪些圆包含一个点

我有一大组重叠的圆，每个圆在一个特定半径的随机位置

type Circle =
    struct 
      val x: float
      val y: float
      val radius: float
    end

给定一个类型为的新点

type Point =
    struct
      val x: float
      val y: float
    end

我想知道我的集合中的哪些圆包含新的点。线性搜索很简单。我正在寻找一种结构，可以容纳圆，并返回比O（N）更好的圆

理想情况下，该结构应能快速插入新的圆，也能快速移除圆

我想在F#中实现这一点，但任何语言的想法都可以

为您提供信息，我希望实施

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但是如果我用简单的方法扫描所有的圆来寻找每一个新的点，这将是一个O（N^2）。

如果我们假设圆分布在一个面积

1

的矩形上，并且一个圆的平均面积是

a

，那么一个

m

级别的四叉树将留给你一个大小

1/2^m

的区域。这只剩下

O（Na/2^m）

作为剩余区域中剩余的预期圆圈数

然而，我们已经做了

O（log（m））

比较来达到这一点。这使得比较的总数为

O（log（m））+O（N/2^m）

如果

log（m）

与

N

成比例，则第二项为常数

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这表明四叉树可以把事情简化为

O（logn）

四叉树是一种高效的平面搜索结构。可以使用它来保持平面的细分

例如，可以创建具有以下属性的四叉树： 1.四叉树的每个单元都包含圆的索引，并与之重叠。 2.每个单元格包含的圆不超过K个（例如10）//可能会断开 3.树的高度以M为界（通常为O（logn））

您可以通过迭代重叠的单元来构造四叉树，如果单元内的圆数超过K，则将该单元细分为四个（如果不超过最大高度）。对于圆内的单元，也应该考虑一些问题，因为它的细分是毫无意义的

当你们找到圆时，你们应该定位四叉树，然后在重叠的圆中迭代，找到那个些包含点的圆

在稀疏圆分布的情况下，搜索将非常有效

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我有一篇学士学位论文，在这篇论文中，我采用了四叉树作为最近的线段位置，预期时间为O（logn），我认为类似的方法也可以在这里使用

实际上，你可以搜索外接圆包含新点p的三角形。因此，您的Delaunay三角剖分已经是您所需要的数据结构：首先搜索三角形t，其中包括p（谷歌搜索“Delaunay walk”）。t的外接圆当然包括p。然后从t开始，增长外接圆包括p的三角形的（连通）面积

以一种快速可靠的方式实现它需要大量的工作。除非要创建新库，否则可能需要使用现有库。我的C++方法是FADE2D（1），但还有很多其他的方法，这取决于你的具体需求。p>

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[1]

那就来点修改过的四叉树吧。然后你可能会做O（logn）是的，但四叉树是用于不重叠几何对象的点。我不知道如何继续。你至少可以把事情缩小到一个区域上重叠的圆的一些小子集。我在前一段时间致力于解决这个问题，结果证明，如果最大半径与坐标范围相比很小，你（或我）只能打败线性。你能断言关于范围的任何东西吗？我想我可能在寻找这个圆分布将是重叠的圆是delaunay三角剖分的外接圆。这有什么不同吗？@BradGonessurfing为什么不能在delaunay三角测量中定位？我认为在三角剖分中使用三角形，你可以在面的外接圆中找到包含外接圆的面，与你的三角形共享点。@BradGonessurfing我也认为你的情况对答案中的算法来说并不坏。最大细分将在阶数>K的三角剖分顶点处达到。但这没关系，在该顶点附近，除了迭代通过关联圆=）之外，您没有什么更好的方法