Optimization 近似log10[x^k0+；k1]

你好。我在试着近似这个函数

Log10[x^k0+k1]，其中.21 k0和k1是常数。出于实际目的，可以假设k0=2.12，k1=2660。所需精度为5*10^-4相对误差

该函数实际上与Log[x]相同，只是接近0，在0附近差异很大

我已经提出了一个SIMD实现，它比一个简单的查找表快约1.15倍，但如果可能的话，我想对它进行改进，我认为这是非常困难的，因为缺乏有效的指令

我的SIMD实现使用16位定点算法计算三次多项式（我使用最小二乘拟合）。对于不同的输入范围，多项式使用不同的系数。共有8个范围，范围i跨越（64）2^i到（64）2^（i+1）。 这背后的原因是Log[x]的导数随x迅速下降，这意味着多项式将更精确地拟合它，因为多项式精确地拟合导数为0的函数超过某个阶数

使用单个_mm_shuffle_epi8（），SIMD表查找非常有效。我使用SSE的浮点到整数转换来获得用于定点近似的指数和有效位。我还通过软件管道化循环，以获得约1.25倍的加速，因此进一步的代码优化可能不太可能

我想问的是，在更高的层次上是否有更有效的近似？ 例如：

这个函数可以分解为具有有限域的函数吗 log2（（2^x）*有效位）=x+log2（有效位）

因此无需处理不同的范围（表查找）。我认为主要的问题是，添加k1术语会杀死我们所知道和喜爱的所有好的日志属性，使之不可能。还是这样

迭代法？不要这样认为，因为对数[x]的牛顿法已经是一个复杂的表达式

利用相邻像素的局部性？-如果8个输入的范围在相同的近似范围内，那么我可以查找单个系数，而不是查找每个元素的单独系数。因此，我可以将此作为一种快速的通用情况，并在不需要时使用较慢的通用代码路径。但根据我的数据，在这个属性占据70%的时间之前，这个范围必须是~2000，这似乎并不能使这个方法具有竞争力

请给我一些意见，特别是如果你是一个应用数学家，即使你说这不可能做到。谢谢。

一个观察： 您可以找到一个表达式，表示作为k0和k1的函数，x需要有多大，以便项x^k0足以支配k1，从而达到近似值：

x^k0+k1~=x^k0，允许您将函数近似计算为

k0*Log（x）

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这将考虑到高于某个值的所有x。

您应该能够通过使用改进最小二乘拟合。（这个想法是，你在寻找一个近似值，它在一个范围内的最坏情况偏差是最小的；而最小二乘法寻找的是一个平方差总和最小的近似值。）我想这对你的问题没有太大的影响，但我不确定——希望它能减少你需要划分的范围的数量，有点

如果已经有了

log（x）

的快速实现，可以计算

p（x）*log（x）

，其中p（x）是切比雪夫近似选择的多项式。（而不是尝试将整个函数作为多项式近似值来执行--需要更少的范围缩减。）

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我是这里的一个业余爱好者——我只是随便说说，因为还没有很多答案。

我最近读到了sRGB模型如何将物理三刺激值压缩为存储的RGB值

它基本上与我试图近似的函数非常相似，只是它是逐段定义的：

k0x，x<0.0031308

k1 x^0.417-k2否则

我被告知Log[x^k0+k1]中的常数加法是为了使函数的开头更线性。但这很容易通过分段近似实现。这将使近似更加“一致”——只有2个近似范围。由于不再需要计算近似范围索引（整数日志）和执行SIMD系数查找，因此计算成本应该更低

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现在，我认为这将是最好的方法，即使它不能精确地近似函数。最困难的部分是提出这一改变并说服人们使用它。

那些投票决定结束的人，因此认为数值方法不是编程主题的人，在来世应该遵守克努斯的判断。你得到了什么样的准确度，你需要什么样的准确度？对不起，我忘了说明准确度。我不确定，但我认为一个相对误差，你可以试着用泰勒级数得到一个多项式近似值。然而，导数必须在x=1中计算，因为分数k0使得x=0中的导数未定义。不，这是个坏主意。泰勒级数只使用局部信息，可能是一个非常糟糕的全局拟合。考虑一下用泰勒级数拟合abs（x）。