Math 从三维点到直线上的垂直点

这个问题以前曾在2D中提出过。这个问题将其扩展到3D。如何从三维空间中的点找到直线上的垂直交点？。如果我的直线是由点（x1，y1，z1）和（x2，y2，z2）定义的，我在空间中有一个点（x3，y3，z3）。如何在（x3，y3，z3）的直线上找到点（x4，y4，z4）的垂直交点？

您想在P1，P2直线上找到P4，即对于一些非零标量对（a，b），P4=a*P1+b*P2，这样P4-P3与P2-P1正交。此条件可以写入

点（P4-P3，P2-P1）=0

。替换P4，您将得到

a*点（P1-P3，P2-P1）+b*点（P2-P3，P2-P1）=0

。因此，您可以：

a = dot(P2-P3,P2-P1)
b = -dot(P1-P3,P2-P1)

---

点（u，v）

是向量点积：和u_i v_i。这适用于任何维度，给出线P1，P2与包含P3的垂直超平面的交点。

您希望在P1，P2线上找到P4，即对于一些非零标量对（a，b），P4=a*P1+b*P2，这样P4-P3与P2-P1正交。此条件可以写入

点（P4-P3，P2-P1）=0

。替换P4，您将得到

a*点（P1-P3，P2-P1）+b*点（P2-P3，P2-P1）=0

。因此，您可以：

a = dot(P2-P3,P2-P1)
b = -dot(P1-P3,P2-P1)

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点（u，v）

是向量点积：和u_i v_i。这适用于任何维度，给出线P1、P2与包含P3的垂直超平面的交点。

我做了计算：
a=（x3-x2）（x2-x1）+（y3-y2）（y2-y1）+（z3-z2）（z1-z3）
b=-（x1-x3）（x2-x1）-（y1-y3）（y2-y1）-（z1-z3）（z2-z1）

P4（交点）=（ax1+bx2，ay1+by2，az1+bz2）
其中：
P1=（x1，y1，z1）
P2=（x2，y2，z2）

---

P3=（x3，y3，z3）
我做了计算：
a=（x3-x2）（x2-x1）+（y3-y2）（y2-y1）+（z3-z2）（z1-z3）
b=-（x1-x3）（x2-x1）-（y1-y3）（y2-y1）-（z1-z3）（z2-z1）

P4（交点）=（ax1+bx2，ay1+by2，az1+bz2）
其中：
P1=（x1，y1，z1）
P2=（x2，y2，z2）

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P3=（x3，y3，z3）

如果您知道如何将球体与线3D相交，则可以通过为P3提供足够的半径来“起泡”（充气）。然后将球体与Line3D相交。通过对称性，解决方案p4是两个交点的中点。

如果您知道如何将球体与线3D相交，则可以通过为p3提供足够的半径来“起泡”（膨胀）。然后将球体与Line3D相交。通过对称，解p4是两个交点的中点。

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