Math 找到；简明数学定义“；函数在SICP中的应用

计算机程序的结构和解释实现了Ackermann的功能：

(define (A x y) 
  (cond ((= y 0) 0)
      ((= x 0) (* 2 y))
      ((= y 1) 2)
      (else (A (- x 1) (A x (- y 1))))))

练习1.10要求对调用

A

的下列函数进行“简明数学定义”：

(define (f n) (A 0 n)) 
(define (g n) (A 1 n)) 
(define (h n) (A 2 n))

---

整数1-4的

f

和

g

输出可识别为2n和2^n。但是

h

是

2^（2^n-1）

，仅仅通过在输出中寻找模式，我无法识别这个公式。如何完成这个练习？有没有一种方法可以推导出数学符号，也许是基于阿克曼函数的符号？

已经计算出（fn）=（*2n）和（gn）=（expt2n），我们可以使用这些信息以及a的定义来计算出（a2n）是什么：

输入x=2：

(define (A2 y) 
  (cond ((= y 0) 0)
        ((= y 1) 2)
        (else (A 1 (A2 (- y 1))))))

输入事实（a1n）=（expt2n）

---

由此可以更清楚地看到递归模式，A2给出了2的嵌套幂，比如2^（2^（2^2））。我认为您的答案2^（2^n-1）可能是错误的。

您可以使用scheme本身来帮助找到以下问题的答案：

(define (*^ x y) `(* ,x ,y))

(define (A x y)
  (cond ((= y 0) 0)
        ((= x 0) (*^ 2 y))
        ((= y 1) 2)
        (else (A (- x 1) (A x (- y 1))))))

;> (A 0 100)
;'(* 2 100)
;> (A 0 234)
;'(* 2 234)

建议（A0N）=（*2N）

---

重新排序规则以避免错误。我们可以看到它做了*2N次，所以是2^n

---

---

这证实了我们得到一个指数塔的想法。

这本书已经介绍了替代法，所以使用它没有错

从

（A 0 n）

这是

(cond ((= n 0) 0)
      ((= 0 0) (* 2 n))
      ((= 0 1) 2)
      (else (A (- 0 1) (A 0 (- n 1)))))

这显然是2n

接下来，

（a1n）

是

(cond ((= n 0) 0)
      ((= 1 0) (* 2 n))
      ((= n 1) 2)
      (else (A (- 1 1) (A 1 (- n 1))))))

那是

(A 0 (A 1 (- n 1)))

或者，利用上一步

(* 2 (A 1 (- n 1))

就是

A 1 n = 2 * (A 1 (n-1))
      = 2 * 2 * (A 1 (n-2))
      = ...

因为我们知道对于所有的

x

，都是

ax1=2

，所以我们看到

A 1 n = 2 * 2 * ... * 2

具有

n

因子，即2n

---

将类似的推理应用于最后一个案例作为练习。

谢谢，这正是我想要的解释。这有一个“简明”的数学定义吗？

(* 2 (A 1 (- n 1))

A 1 n = 2 * (A 1 (n-1))
      = 2 * 2 * (A 1 (n-2))
      = ...

A 1 n = 2 * 2 * ... * 2