Math 计算三次贝塞尔曲线的拐点？

我有四个点组成一条三次贝塞尔曲线：

P1 = (10, 5)
P2 = (9, 12)
P3 = (24, -2)
P4 = (25, 3)

现在我想找到这条曲线的拐点。我在谷歌上搜索过，但每个人都提到一个网站：

不幸的是，这些小程序不起作用，我根本无法把它们放在一起。有人能告诉我如何计算曲线的拐点吗

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对于贝塞尔曲线，有两个参数方程X（t）和Y（t）。 要确定参数曲线的拐点，需要找到曲线曲率（）改变符号的位置。所以你需要找到上述函数的一阶和二阶导数，然后解方程：

C(t) = X' * Y'' - X'' * Y' = 0

一阶导数是二次的，第二阶导数是线性的，所以对于

t

，方程是三次的，可能有多达3个解

编辑：已阅读链接文章，方程简化为二次方程，最多可有2个解

如果解决方案存在于t范围0..1内，您还必须检查它是否为真正的拐点-检查

C'（t）0

在该t值处

示例：蓝色圆圈是拐点（两个捕捉到的）

真实代码片段（Delphi）
给定：
P是控制点的数组
Cf是贝塞尔系数的幂基

P, Cf: array[0..3] of TPoint

//calculate Bezier coefficients
Cf[3].x := p[3].x - 3 * p[2].x + 3 * p[1].x - p[0].x;
Cf[2].x := 3 * (p[0].x - 2 * p[1].x + p[2].x);
Cf[1].x := 3 * (p[1].x - p[0].x);
Cf[0].x := p[0].x;
//the same for Y

//find parameters of quadratic equation
// a*t^2 + b*t + c = 0
a := 3 * (cf[2].X *cf[3].Y - cf[2].Y *cf[3].X);
b := 3 * (cf[1].X *cf[3].Y - cf[1].Y *cf[3].X);
c := cf[1].X *cf[2].Y - cf[1].Y *cf[2].X;

//here solve quadratic equations, find t parameters
//don't forget a lot of special cases like a=0, D<0, D=0, t outside 0..1 range
Discriminant := b * b - 4 * a * c;
....

P，Cf:TPoint的数组[0..3]
//计算贝塞尔系数
Cf[3].x:=p[3].x-3*p[2].x+3*p[1].x-p[0].x；
Cf[2].x:=3*（p[0].x-2*p[1].x+p[2].x）；
Cf[1].x:=3*（p[1].x-p[0].x）；
Cf[0].x:=p[0].x；
//Y也一样
//求二次方程的参数
//a*t^2+b*t+c=0
a:=3*（cf[2].X*cf[3].Y-cf[2].Y*cf[3].X）；
b:=3*（cf[1].X*cf[3].Y-cf[1].Y*cf[3].X）；
c:=cf[1].X*cf[2].Y-cf[1].Y*cf[2].X；
//在这里解二次方程，求t参数
//不要忘记很多特殊情况，比如a=0，D为了详细说明MBo的答案，
C（t）=X'*Y'-X'*Y'=0
几乎就是你想要的伪码，因为一阶导数和二阶导数很容易计算

下面是一个坐标为（x1，y1）…（x4，y4）的通用贝塞尔函数：

其中a=3（x2-x1）、b=3（x3-x2）和c=3（x4-x3），以及：

其中u=2（b-a）和v=2（c-b）。当然，y分量也是如此：

fy(t) = y1 (1-t)³ + 3·y2·(1-t)²·t + 3·y3·(1-t)·t² + y4·t³
fy'(t) = a'·(1-t)² + 2·b'·(1-t)·t + c'·t²
fy''(t) = u'·(1-t) + v'·t

其中
a'
与
a
相同，但具有
y
值等

计算
C（t）=fx'（t）·fy'（t）-fx'（t）·fy'（t）
的数学很烦人，但这就是我们拥有计算机的原因。如果您拥有树莓pi，您就拥有Mathematica的许可证，那么让我们使用它：


这是一个庞大的公式，但找到“任意”曲线的拐点有点愚蠢，因为贝塞尔曲线对线性仿射变换是不变的，所以无论我们检查“真实曲线”，拐点的
t
值都保持不变或者旋转/平移/缩放曲线，使其具有更方便的坐标。就像平移它，使（x1，y1）最终成为（0,0），并且（x4，y4）位于x轴上，使y4为零

如果我们这样做，那么我们会得到一个非常简单的公式：


这要简单多少？嗯：

18 times:
  -     x3 * y2
  + 3 * x3 * y2 * t
  - 3 * x3 * y2 * t^2
  -     x4 * y2 * t
  + 2 * x4 * y2 * t^2
  +     x2 * y3
  - 3 * x2 * y3 * t
  + 3 * x2 * y3 * t^2
  -     x4 * y3 * t^2

因为我们在编程，所以有很多可缓存的值。采取：

a = x3 * y2
b = x4 * y2
c = x2 * y3
d = x4 * y3

我们可以将
C（t）
简化为：

1/18 * C(t) = -a + 3at - 3at^2 - bt + 2bt^2 + c - 3ct + 3ct^2 - dt^2
= -3at^2 + 2bt^2 + 3ct^2 - dt^2 + 3at - bt - 3ct - a + c
= (-3a + 2b + 3c - d)t^2 + (3a - b - 3c)t + (c - a)

再加上因子18，这只是一个简单的二次公式，我们可以使用二次根恒等式和更简单的值来求根：

v1 = (-3a + 2b + 3c - d) * 18
v2 = (3a - b - 3c) * 18
v3 = (c - a) * 18

并且，假设
3a+d
不等于
2b+3c
（因为在这种情况下没有根），我们得到：

扔掉不属于贝塞尔区间[0,1]的根，剩下的是原始曲线弯曲的
t
值

只是我不能以某种方式把东西组合在一起，所以我最终得到了一些很好的伪代码。这也是我给出一些点和坐标的原因。我想看到有人用实数来计算

尤其是在Stackoverflow上，最好不要在前面偷懒，而应该致力于学习新东西。
您熟悉参数化曲线表示吗？你们能把贝塞尔曲线从伯恩斯坦基转换成多项式基表示吗？我已经输入了Python，但我得到了错误的结果。是我还是遗漏了什么，还是有拼写错误？？是的，显然这些输入将失败。重新阅读上面的一段“如果我们这样做，那么我们会得到一个非常简单的公式”，因为您构建代码所依据的分析要求您首先对曲线进行轴对齐。谢谢你，迈克！
1/18 * C(t) = -a + 3at - 3at^2 - bt + 2bt^2 + c - 3ct + 3ct^2 - dt^2
= -3at^2 + 2bt^2 + 3ct^2 - dt^2 + 3at - bt - 3ct - a + c
= (-3a + 2b + 3c - d)t^2 + (3a - b - 3c)t + (c - a)

v1 = (-3a + 2b + 3c - d) * 18
v2 = (3a - b - 3c) * 18
v3 = (c - a) * 18

  sqr = sqrt(v2^2 - 4 * v1 * v3)
    d = 2 * v1
root1 =  (sqr - v2) / d
root2 = -(sqr + v2) / d