Performance 任何算法的时间复杂度是否可能随着输入大小的增加而降低

我刚刚在Cormen的算法书中读到big-O和big-omega不遵循三分法性质。这意味着对于两个函数，

f（n）

和

g（n）

，可能是

f（n）=O（g（n））

和

f（n）=Omega（g（n））

都不成立的情况。在这个例子中，他们认为如果函数是

n^（1+sinn）

，那么它是可能的

虽然这是正确的，但在现实世界的算法中，是否可能有类似于

sinn

的运行时。因为它有时会随着输入大小的增加而减少。有没有人知道这样的算法，或者可以给出一个小的代码片段来实现这一点

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感谢您的回答，因此在这种情况下，假设给定一个大小为n的问题p，如果任何已知算法都无法在O（f（n））时间内解决它，那么p的下界是ω（f（n））。

使用任何反函数

f(x) -> 1 / x
f(x) -> 1 / x²
f(x) -> 1 / log(x)

随着输入

x

的增加，结果值将变小。将较小的值与算法中较少的步骤联系起来相当简单。只要在循环中使用一个计数器就可以向那个数字移动

这里有一个简单的算法

function(x) {
    step = 0.001
    y = 1 / x;
    for (i = 0; i < y; i += step) { /* do something awesome here */ }
}

函数（x）{
阶跃=0.001
y=1/x；
对于（i=0；i

当搜索的字符串变长时，Boyer-Moore字符串搜索算法会变得更快。当然，限制因素通常是搜索到的字符串的长度。

随机生成的3CNF子句的SAT平均运行时间最终会随着子句与变量的比率的增加而减少。直觉是，当与变量数量相关的子句非常多时，公式“显然”不可满足的可能性更大；也就是说，典型的SAT求解算法（比穷举搜索好一两步，但足够简单，可以在本科逻辑课程中涵盖）很快就会遇到矛盾并停止

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当然，这些都是一些“随机”3CNF公式概念的实验观察结果。我不确定人们已经证明了什么。

我很难想象出一个复杂度降低的有意义的问题。一个“有意义的”问题将需要读取或触摸其所有输入的一部分。除非以非常低效的方式对输入进行编码，否则处理它将花费越来越多的时间

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但是，它可能会朝着一个常数增加。

很容易构造出具有这种奇怪运行时的函数的人为示例，但据我所知，没有函数的渐近运行时会随着输入的增大而减少。是的，正如templatetypedef所说，它们通常是人为的例子，也有人为的例子，这些函数的运行时会减少，但它们对任何人都没有真正的用处，除非可以这样做：\可能更好SE？通过一个人为的例子，某些函数可以像sin（x）那样增减。然而，由于算法的复杂性，它不能具有递减函数。随着输入的增加，算法中的步数将减少，但不能将其减少到0以下。所以最终它将是一个常数，算法必须具有恒定的复杂性。其他人在他们的示例中建议使用好的函数，但我不知道为什么你认为

sin（x）

不是一个真正的算法函数，当然你有时会在代码中使用它，看到它背后的实现也很好。真的不明白，如何获得你提到的任何一个f（x）作为算法的运行时？我添加了一个简单的函数来关联输入值和算法完成所需的步骤数。但这些不是O（1/x）。它们是O（1）。你将不可避免地遇到离散问题。@Jems，@phkahler-当我们使用渐近时间复杂性时，我们对收敛值不感兴趣。否则，所有算法都将是

O(∞)n

收敛到

∞

，任何依赖于

n

的算法，例如

O（n）

或

O（n³）

所采取的步骤数将简单地收敛到

∞

。因此，可以说上述算法的复杂性是

O（1/n）

。就离散性而言，可以选择适当的步进值，而不是使用固定的步进值，例如

0.001

@Anurag。如果您的算法总是运行至少一步，那么它已经是ω（1）。另一种选择是零步算法。有趣的答案！你是否将分析子句所需的时间包括在运行时间中？从理论角度来看，这很重要，因为即使发现矛盾所需的时间减少，分析所需的时间也应该是超出某一点的主要成本。对，生成ng（或解析）公式在子句数量（乘以变量数量的对数，如果你真的想精确的话）上是线性的。一个“有意义的”问题将需要读取或接触其所有输入的一部分。二进制搜索只需要平均读取其输入的对数量。