Performance 两个Toeplitz矩阵的乘积？

Toeplitz矩阵与正确长度的向量乘积的

O（n logn）

算法是众所周知的：将其放入循环矩阵中，乘以向量（以及随后的零），然后返回乘积的顶部

n

元素

我发现很难找到两个相同大小的Toeplitz矩阵相乘的最佳（时间方面的）算法

有人能给我一个算法吗？

这里有一个O（n^2）时间算法

要计算乘积矩阵的一条对角线，我们需要在长度为-（2n-1）的n个窗口上计算点积，这些窗口是按锁步滑动的。可以在时间O（1）中计算两个连续条目之间的差值

例如，考虑

的乘积

e f g h i    o p q r s
d e f g h    m o p q r
c d e f g    l m o p q
b c d e f    k l m o p
a b c d e    j k l m o

1,1分录为

eo+fm+gl+hk+ij

。2,2分录为

dp+eo+fm+gl+hk

，或1,1分录减去

ij

plus

dp

。3,3分录为

cq+dp+eo+fm+gl

，或2,2分录减去

hk

plus

cq

。4,4条目是

br+cq+dp+eo+fm

等

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如果用浮点实现，请注意。

Toeplitz矩阵的乘积不一定是Toeplitz。如何表示输出？作为nxn矩阵，因为在这种情况下，没有其他表示法可以显示所有相关数据。我并不是要一个比

O（n^2）

更快的算法，我只是想知道在这种情况下是否有比标准矩阵乘法例程更快的算法。请注意，两个循环矩阵的乘积是循环的。我想知道是否有比O（n^2）更快的算法来计算两个循环矩阵的乘积，这两个矩阵都表示为向量。@nneonneo有一个O（n logn）时间算法——将第一个矩阵乘以第二个矩阵的一行，并进行n次不同的旋转。你能详细介绍一下吗？我不明白你所说的步调一致是什么意思，“但我确实看到了你试图展示的模式。@乔纳森，我想另一种说法是，我们可以逐点乘以列表，然后对角线上的元素是乘积列表中n个连续元素的和。有没有一种方法可以从数学上表示这一点呢？@乔纳森用一个全一向量进行卷积？”？