Php 如何返回所有求和为给定正整数的数字序列？

例如，输入3将返回[1,1,1]、[2,1]和[1,2]

我知道很多组合/置换问题都涉及一个在循环内部调用自身的递归函数，但我找不到合适的方法将其应用于这个问题

这是一个我正在努力掌握的概念，以下是我到目前为止所掌握的

function numberToAddends($number, $arr, $k){
    for ($i = 0; $i < $number; $i++) {
        $arr[$k] = $i;
        numberToAddends($k-$i, $arr, $k + 1);
    }

    if($k <=0){
        print_r($arr);
    }
}

函数编号加法器（$number，$arr，$k）{
对于（$i=0；$i<$number；$i++）{
$arr[$k]=$i；
数字加数（$k-$i，$arr，$k+1）；
}
如果（$k你要找的概念是一个数字的“整数分区”。谷歌应该给你指出很多代码，或者寻找解释和代码

基本思想是一个简单的递归过程。有一个0的分区，即空集（）。有一个1的分区，即集合（1）。有两个2的分区，即集合（1）和（2）。有三个3的分区，即集合（1 1 1）、（1 2）和（3）。有五个4的分区，即集合（1 1 1）、（1 2）、（1 3）、（2）和（3）（4） 。有七个5的分区，集合（1 1 1 1）、（1 1 2）、（1 2）、（1 1 3）、（1 4）、（2 3）和（5）等等。在每种情况下，下一个较大的分区集合是通过将小于或等于所需整数n的每个整数x添加到由n的分区形成的所有集合中来确定的− x、 消除任何重复项。
这里有一个算法，通过重用从1到n的子结果来解决此问题：

$number=3；
$addends=数组（）；
对于（$x=1；$x0；$y--）{
foreach（$加上[$y]作为$z）{
$addends[$x][]=array_merge（$z，array（$x-$y））；
}
}
$addends[$x][]=数组（$x）；
}
var_dump（$加数）；

这将通过将任何y是否应该给出
[3]
作为一种解决方案？注释代码，一些咖啡，也许是一个不错的甜甜圈？不，除了原始的数字类似于斐波那契，从1到n而不是从n到1构建结果。通过这样做，你可以重用任何1…n-1的结果。关闭不是一个真正的问题？但他只是在问整数分区，Knuth已经写过第4A卷第3分册的大部分内容都是关于它的！
$number = 3;
$addends = array();
for ($x=1; $x<=$number; $x++) {
    $addends[$x] = array();
    for ($y=$x-1; $y>0; $y--) {
        foreach ($addends[$y] as $z) {
            $addends[$x][] = array_merge($z, array($x-$y));
        }
    }
    $addends[$x][] = array($x);
}
var_dump($addends);