Python 3.x 这个agorithm（解决leetcode问题650）的时间复杂度是多少？

您好，我一直在研究这个动态规划问题

在空白页上以“A”开头，然后得到一个数字

n

，完成后，页面上应该有

n

次“A”。问题是，您只允许进行两次操作：复制（并且您只能复制页面上当前A的总量）和粘贴-->查找要在页面上获得

n

'A'的最小操作数

我写了下面的算法来解决这个问题，但是我很难分析它的时间复杂度

代码如下：

    def minSteps(self, n: int) -> int:
        DP = [0] + [0] + [i for i in range(2, n+1)]

        for d in range(2, n+1):
            for i in range(d*2, n+1, d):
                DP[i] = min(DP[i], DP[d] + i//d )
        return DP[n]

所以我的直觉告诉我，这个算法介于

O（n^2）

和

O（nlogn）

之间，因为在第二个循环中，我们比

O（n）

要“快”，但是由于步长

d

在每次迭代之间没有翻倍，所以在第二个循环中仍然是

O（n）

---

我不知道如何分析该循环，欢迎提供任何帮助。

让我们看看外部循环-它执行了

O（N）

次。
每个内部循环都在执行

O（N/d）

操作，因为索引的跳转在

d

因此，计算如下：

N / 1 + N / 2 + N / 3 + ... + 1

请注意，此总和中有

N

项

我们可以将

N

取出：

N * (1 / 1 + 1 / 2 + 1 / 3 + ... + 1 / N)

大约是：

N * ln N

（直观地说，通过集成函数

1/N

，可以得到

ln

）

因此，总体来说，复杂性是

O（nlogn）

您的解决方案是

O（nlogn）

。以下是一个更有效的解决方案：

 def minSteps(self, n: int) -> int:
        ans = 0
        d = 2
        while n >= d * d:
            while n % d == 0:
                ans += d
                n //= d
            d += 1
        if n != 1:
            ans += n
        return ans 

---

此解决方案基于LeetCode上发布的解决方案，但速度要快得多。时间复杂度是

O（sqrt（p））

，其中

p

是

n

的最大素因子。如果最后一步不清楚，请查找“调和数”