python：集成分段函数

我想分段积分一个定义好的函数，它乘以勒让德多项式。 不幸的是，我找不到如何使用x的第n个勒让德多项式。当

n=1，…，50

时，我想积分x的每个勒让德多项式，所以我设置了

n=np.arange（1，51，1）

然后我会返回一些

u（x）

，前50项通过勒让德多项式展开分段函数

编辑1:

如果不能做到这一点，我可以用罗德里格斯公式来计算第n个勒让德多项式。然而，当我在Python中寻找计算n阶导数时，却找不到任何有用的东西

P_n(x) = \frac{1}{2^n n!}\frac{d^n}{dx^n}(x^2 - 1)^n

因此，如果有人知道如何在Python中实现这样的方案，那么这是一个选项

P_n(x) = \frac{1}{2^n n!}\frac{d^n}{dx^n}(x^2 - 1)^n

编辑2:

根据萨洛·卡斯特罗的回答，我有：

import numpy as np
from scipy.integrate import quad

def f(x, coef):
    global p
    p = np.polynomial.legendre.Legendre(coef=coef)
    if 0 <= x <= 1:
        return 1*p(x)
    if -1 <= x <= 0:
        return -1*p(x)

c = []
for n in range(1, 51):
    c.append((2. * n + 1.) / 2. * quad(f, -1, 1, args=range(1,n+1))[0])

def g(x)
    return sum(c * p(x) for n in range(1, 51))

将numpy导入为np
从scipy.integrate导入四元组
定义f（x，coef）：
全局p
p=np.多项式.勒让德.勒让德（coef=coef）
如果0如果我正确理解了你的问题，你想计算f（x）*Ln（x）的积分，其中f（x）是一个分段函数，你用python函数定义。我假设你对这个特殊的阶跃函数不感兴趣

可以使用系数参数的单位矩阵获得勒让德多项式的值

import numpy as np
import matplotlib

x = np.linspace(-1, 1, 201)

L = np.polynomial.legendre.legval(x, np.identity(50))

plt.plot(x, L.T)


然后，可以使用正交进行积分。使用高斯-勒让德求积可能更有效，因为勒让德多项式的积分对于Ln（x）是精确的，其中n小于求积大小

import numpy as np    
from numpy.polynomial.legendre import leggauss, legval

def f(x):
    if 0 <= x <= 1:
        return 1
    if -1 <= x <= 0:
        return -1

# of course you could write a vectorized version of
# this particular f(x), but I assume you have a more
# general piecewise function
f = np.vectorize(f)

deg = 100
x, w = leggauss(deg) # len(x) == 100

L = np.polynomial.legendre.legval(x, np.identity(deg))
# Sum L(xi)*f(xi)*wi
integral = (L*(f(x)*w)[None,:]).sum(axis=1)

c = (np.arange(1,51) + 0.5) * integral[1:51]

x_fine = np.linspace(-1, 1, 2001) # 2001 points
Lfine = np.polynomial.legendre.legval(x_fine, np.identity(51))

# sum_1_50 of c(n) * Ln(x_fine)
cLn_sum = (c[:,None] * Lfine[1:51,:]).sum(axis=0)

将numpy导入为np
从numpy.polynomy.legendre导入leggauss，legval
def f（x）：
如果0您可以进行如下集成：

import numpy as np
from scipy.integrate import quad

def f(x, coef):
    n = coef[-1]
    p = (2*n+1)/2.*np.polynomial.legendre.Legendre(coef=coef)
    if 0 <= x <= 1:
        return 1*p(x)
    if -1 <= x <= 0:
        return -1*p(x)

c = []
for n in range(1, 51):
    c.append(quad(f, -1, 1, args=range(1,n+1))[0])

有些东西没写出来。第一个系数应该是
1.5
，但这会打印
0,5,7,4.5，…
，而且，由于我忘了输入（2.*n+1.）/2，您会得到一些稍微不同的结果。在我的第一篇帖子中整合了前面的内容。所以我有
c.append（（2.*n+1.）/2.*quad（f，-1，1，args=range（1，n+1））[0]）
这是积分
n
？如果是这样，那就是问题所在。我需要集成
x
实际上，它是将
x
从
-1
集成到
+1
。（参见这里的
quad
文档）[被积函数在我的答案中是错误的，现在我修正了它，它给出了
c
的预期结果……如何绘制
sum（范围（1,51）内n的c*p（x））
其中
p（x）
是勒让德多项式还是n阶？L的行包含L（x）从第一行的L0开始。你求和并绘制它们。我遇到的问题是我们没有一个n来求和，所以我怎么能求和？我真的不理解“我们没有一个n来求和”。L的第n行代表Ln（x）的值，其中每列对应于不同的x值。即，L[n，I]==Ln（x[I]）.我修改了答案，以显示如何用numpy计算这个和。你也可以只写一个循环。在这一点上，我对你要完成的工作有点困惑，但我希望这能回答你的问题。当然，你可以用更细的x间距重新计算L。有两种方法。你可以增加I的度数积分，这将增加正交点。你也可以用更细的间距重新计算L，这是我在上面做的。我没有检查积分是否收敛，所以你可能想增加deg，看看是否有任何变化。
import numpy as np
from scipy.integrate import quad

def f(x, coef):
    n = coef[-1]
    p = (2*n+1)/2.*np.polynomial.legendre.Legendre(coef=coef)
    if 0 <= x <= 1:
        return 1*p(x)
    if -1 <= x <= 0:
        return -1*p(x)

c = []
for n in range(1, 51):
    c.append(quad(f, -1, 1, args=range(1,n+1))[0])

print c
#[0.0, 5.0, 6.9999999999999991, 4.5, ... , 62.975635570615466, 64.274102283412574, 77.143785770271251]