编写集成高斯函数的Python函数的最佳方法是什么？

在尝试使用scipy的quad方法对高斯进行积分时（假设有一种高斯方法，名为gauss），我遇到了将所需参数传递给gauss并让quad对正确的变量进行积分的问题。有没有人有一个很好的例子来说明如何使用多维函数

但这让我想到了一个更重要的问题，关于积分高斯函数的最佳方法。我没有在scipy中找到高斯积分（令我惊讶）。我的计划是编写一个简单的高斯函数并将其传递给quad（或者现在是一个固定宽度的积分器）。你会怎么做

编辑：固定宽度意味着类似trapz的东西，它使用固定的dx来计算曲线下的面积

到目前为止，我得到的是一个方法make__________________________gauss，它返回一个lambda函数，然后可以进入四元函数。通过这种方式，我可以在积分之前，用我需要的平均值和方差生成一个正态函数

def make_gauss(N, sigma, mu):
    return (lambda x: N/(sigma * (2*numpy.pi)**.5) *
            numpy.e ** (-(x-mu)**2/(2 * sigma**2)))

quad(make_gauss(N=10, sigma=2, mu=0), -inf, inf)

当我尝试传递一个通用的高斯函数（需要用x、N、mu和sigma调用）并使用类quad填充一些值时

quad(gen_gauss, -inf, inf, (10,2,0))

参数10、2和0不一定与N=10、sigma=2、mu=0匹配，这促使定义更加扩展

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scipy.special中的erf（z）要求我精确定义t最初是什么，但知道它在那里很好。

为什么不总是从-infinity到+infinity进行积分，以便总是知道答案？（开玩笑！）

我的猜测是，SciPy中还没有屏蔽高斯函数的唯一原因是它是一个很容易编写的函数。您关于编写自己的函数并将其传递给quad以集成的建议听起来很棒。它使用公认的SciPy工具来实现这一点，对您来说代码工作量很小，而且对于其他人来说非常可读，即使他们从未见过SciPy

你所说的固定宽度积分器到底是什么意思？你的意思是使用与QUADPACK不同的算法吗

编辑：为了完整性，这里有一些类似于我尝试的高斯分布，平均值为0，标准偏差为1，从0到+无穷大：

from scipy.integrate import quad
from math import pi, exp
mean = 0
sd   = 1
quad(lambda x: 1 / ( sd * ( 2 * pi ) ** 0.5 ) * exp( x ** 2 / (-2 * sd ** 2) ), 0, inf )

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这有点难看，因为高斯函数有点长，但写起来仍然很简单

我假设你在处理多元高斯函数；如果是这样的话，SciPy已经有了你想要的功能：它被称为MVNDIST（“多元正态分布”）。SciPy文档和以往一样糟糕，所以我甚至找不到函数的埋藏位置，但是。文档很容易是SciPy最糟糕的部分，过去让我失望不已

单变量高斯函数只是使用了旧的错误函数，其中有许多实现

至于一般地解决这个问题，是的，正如James Thompson所提到的，您只需要编写您自己的高斯分布函数并将其提供给quad（）。但是，如果您可以避免广义积分，那么这样做是一个好主意——针对特定函数的专门积分技术（如MVNDIST使用）将比标准的蒙特卡罗多维积分要快得多，而标准的蒙特卡罗多维积分对于高精度来说可能非常缓慢。

scipy附带了“误差函数”，即高斯积分：

import scipy.special
help(scipy.special.erf)

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好吧，你似乎对一些事情很困惑。让我们从一开始开始：你提到了一个“多维函数”，但接着讨论了通常的单变量高斯曲线。这不是一个多维函数：当你积分它时，你只积分一个变量（x）这种区别很重要，因为有一种叫做“多元高斯分布”的怪物，它是一种真正的多维函数，如果进行积分，需要对两个或多个变量进行积分（使用我前面提到的昂贵的蒙特卡罗技术）.但你似乎只是在谈论规则的单变量高斯分布，它更容易处理，更容易积分，等等

单变量高斯分布有两个参数，

sigma

和

mu

，是单个变量的函数，我们将表示

x

。您似乎还携带了一个归一化参数

n

（这在一些应用中很有用）。标准化参数通常不包括在计算中，因为您可以在最后将其重新固定（请记住，积分是一个线性运算符：

int（n*f（x），x）=n*int（f（x），x）

）。但如果您愿意，我们可以随身携带；我喜欢的正态分布表示法是

N（x-mu，sigma，N）：=（N/（sigma*sqrt（2*pi））*exp（（（x-mu）^2）/（2*sigma^2））

（将其理解为“给定的

x

的正态分布

sigma

，

mu

，以及

n

由…）到目前为止，一切正常；这与您得到的函数相匹配。请注意，这里唯一的真实变量是

x

：其他三个参数对于任何特定的高斯函数都是固定的

现在来看一个数学事实：所有高斯曲线的形状都是相同的，这是可以证明的，它们只是稍微移动了一点。因此我们可以使用称为“标准正态分布”的

N（x | 0,1,1）

，然后将我们的结果转换回一般的高斯曲线。如果你有

N（x | 0,1,1）的积分

，你可以简单地计算任意高斯函数的积分。这个积分出现得如此频繁，以至于它有一个特殊的名字：误差函数

erf

。由于一些旧的约定，它不完全是

erf

；还有一些加法和乘法因子

如果φ（z）=积分（N（x | 0,1,1），-inf，z）；也就是说，

φ（z）

是从负无穷大到

z

的标准正态分布的积分，那么根据误差f的定义，它是真的

def make_gauss(N, sigma, mu):
    k = N / (sigma * math.sqrt(2*math.pi))
    s = -1.0 / (2 * sigma * sigma)
    def f(x):
        return k * math.exp(s * (x - mu)*(x - mu))
    return f

from scipy.stats import norm
print norm.cdf(0.0)
>>>0.5