python对数错误地计算了非常小的复数

我需要使用python来计算表单中对象的对数

log( 1 - n0 - n1*1j)

其中n0和n1是非常小的数字~1.0e-27，1j是虚数

使用cmath.log会给出错误的答案

print cmath.log( 1.0 -  1e-27 - 1.0e-27j )
(5e-55-1e-27j)

使用mpmath我可以得到正确的结果，但前提是我正确地表达了论点

import mpmath as mp
mp.prec = 100
print mp.log(   mp.mpc(1.0) -  mp.mpc(0.00000000000000000000000001)  - mp.mpc(real='0.0', imag='1.0e-27') )

给予

（哪个是正确答案） 鉴于

给予

这是怎么回事？

---

仅使用cmath.log（）就可以得到正确的答案吗

Python使用IEEE binary64标准（通常称为双精度）来表示浮点数。binary64只有大约15位小数精度；超过15位的数字无法准确表示。正如你在这里看到的：

>>> 1 - 1e-27
1.0

精度损失导致

1-1e-27

四舍五入到

1.0

。更复杂的数学库提供了计算1的对数比输入的数字多的函数。例如，在：

---

…不幸的是，这也是错误的。这让我很惊讶。我不知道为什么会这样。下一个最佳选择可能是使用任意精度的数学库，如mpmath。确保用字符串而不是浮点数初始化任意精度的数字。如果使用浮点文本，在任意精度库发挥作用之前，将丢失大量精度。

Python使用IEEE binary64标准（通常称为双精度）来表示浮点数。binary64只有大约15位小数精度；超过15位的数字无法准确表示。正如你在这里看到的：

>>> 1 - 1e-27
1.0

精度损失导致

1-1e-27

四舍五入到

1.0

。更复杂的数学库提供了计算1的对数比输入的数字多的函数。例如，在：

---

…不幸的是，这也是错误的。这让我很惊讶。我不知道为什么会这样。下一个最佳选择可能是使用任意精度的数学库，如mpmath。确保用字符串而不是浮点数初始化任意精度的数字。如果使用浮点文字，在任意精度库发挥作用之前，将损失大量精度。

双精度格式的精度约为15位小数

cmath.log（）

在您的情况下会丢失精度，因为它在数量级（1.和您的小数字）上的总和太不同

如果你的算法不需要高速，你可以用泰勒级数来计算。即：

日志（1+x）=x-x**2/2+x**3/3+

您可以实现更高的精度

您还可以使用以下公式：

对数（1+x）=数学对数1p（x）+1j*cmath.相位（1+x）

---

其中

math.log1p

精确计算小x的对数。

双精度格式的精度约为15位小数

cmath.log（）

在您的情况下会丢失精度，因为它在数量级（1.和您的小数字）上的总和太不同

如果你的算法不需要高速，你可以用泰勒级数来计算。即：

日志（1+x）=x-x**2/2+x**3/3+

您可以实现更高的精度

您还可以使用以下公式：

对数（1+x）=数学对数1p（x）+1j*cmath.相位（1+x）

---

其中

math.log1p

精确计算小x的对数。

在我看来，“正确答案”在实部似乎偏离了一个数量级。我的直觉都表明，真实的部分应该更接近

-1e-27

。如果它比1小，它就比1大，我想它会像9.99e-27。

0.00000000000000000000000001

是

1e-26

，而不是

1e-27

。你为什么不用一个字符串来初始化它，比如

mp.mpc（real='0.0'，imag='1.0e-27'）

？如果初始化为'mp.log（mp.mpc（real='0.99999999999999999999'，imag='-1.0e-27'），你是对的，它确实给出了正确的答案。在我看来，“正确答案”在真实部分似乎偏离了一个数量级。我的直觉都表明，真实的部分应该更接近

-1e-27

。如果它比1小，它就比1大，我想它会像9.99e-27。

0.00000000000000000000000001

是

1e-26

，而不是

1e-27

。你为什么不用一个字符串初始化它，比如

mp.mpc（real='0.0'，imag='1.0e-27'）

？如果初始化为'mp.log（mp.mpc（real='0.99999999999999999999'，imag='-1.0e-27'），你是对的，它给出了正确的答案。这里，由于

x~1e-26

，一阶近似值

log（1+x）=x

给出的精度高达

~1e-52

，这可能足够了。这里，由于

x~1e-26

，一阶近似

log（1+x）=x

给出的精度高达

~1e-52

，这可能足够了。

(5.0e-55 - 1.0e-27j)

>>> 1 - 1e-27
1.0

>>> numpy.log1p(-1e-27-1e-27j)
-1e-27j