Python 微分方程求解中的高频噪声

我试图模拟一个简单的扩散基于

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在最初的几个时间步中，一切看起来都很好，但随后我开始得到高频噪声，通过二阶导数放大的数值误差。因为似乎很难提高浮点精度，我希望我能做些别的事情来抑制它？我已经增加了用于构造二阶导数的点数。

我没有时间详细研究你的解，但你似乎是在用一个。正如您所展示的，这很容易实现，但是如果您的时间步长太小，这可能会变得数值不稳定。唯一的解决方案是减少时间步长或提高空间分辨率

解释这一点的最简单方法是一维情况：假设你的注意力是空间坐标

x

和时间步长

i

的函数。如果你做了所有的数学运算（写下你的方程，用偏导数代替，应该很容易），你可能会得到如下结果：

C(x, i+1) = [1 - 2 * k] * C(x, i) + k * [C(x - 1, i) + C(x + 1, i)]

因此，下一步的一个点的集中度取决于它之前的值和它的两个相邻点的值。不难看出，当

k=0.5

时，每个点都会被其两个相邻点的平均值所取代，因此

[…，0,1,0,1,0，…]

的浓度分布在下一步将变成

[…，1,0,1,0,1，…]

。如果

k>0.5

，这样的剖面将以指数级放大。用更长的卷积计算二阶导数（我有效地使用了[1，-2,1]），但我想这不会改变不稳定性问题

我不知道正常扩散，但根据热扩散的经验，我猜

k

与

dt*扩散系数/dx^2

成比例。因此，您必须选择足够小的时间步长，以便模拟不会变得不稳定。要使模拟稳定，但仍尽可能快，请选择参数，使

k

略小于

0.5

。对于二维和三维情况，也可以得出类似的结论。实现这一点的最简单方法是增加

dx

，因为对于线性问题，您的总计算时间将按

1/dx^3

的比例缩放，对于二维问题，将按

1/dx^4

的比例缩放，对于三维问题，甚至按

1/dx^5

的比例缩放

有更好的方法来解决扩散方程，我相信这至少是解决热方程（这也是一个扩散问题）的标准。“问题”是这是一种方法，这意味着你必须解一组方程来计算你在下一个时间步的“浓度”，这是一个有点难实现的方法。但这种方法保证了数值稳定性，即使是在大的时间步长下

C(x, i+1) = [1 - 2 * k] * C(x, i) + k * [C(x - 1, i) + C(x + 1, i)]