Python 如何使用scipy执行二维插值？

本问答旨在作为关于使用scipy的二维（和多维）插值的规范（-ish）。经常会有关于各种多维插值方法的基本语法的问题，我希望也能澄清这些问题。

我有一组分散的二维数据点，我想将它们绘制成一个漂亮的曲面，最好使用

matplotlib.pyplot

中的

contourf

或

plot\u surface

。如何使用scipy将二维或多维数据插值到网格

---

我找到了

scipy.interpolate

子包，但在使用

interp2d

或

bisplrep

或

griddata

或

rbfipolator

（或旧的

Rbf

）时，我总是会出错。这些方法的正确语法是什么？

免责声明：我在写这篇文章时主要考虑了语法方面的考虑和一般行为。我不熟悉所描述的方法的内存和CPU方面，而我的目的是在那些有合理的小数据集的人，这样插值的质量可以是主要考虑的方面。我知道，在处理非常大的数据集时，性能更好的方法（即

griddata

和

rbfipolator

没有

邻居

关键字参数）可能不可行

请注意，此答案使用中引入的新类。有关遗留类，请参见

我将比较三种多维插值方法（/样条，和）。我将使它们服从两种插值任务和两种基本函数（从中插值的点）。具体示例将演示二维插值，但可行的方法适用于任意维。每种方法都提供各种插值；在所有情况下，我都会使用三次插值（或接近1的东西）。需要注意的是，无论何时使用插值，都会引入与原始数据相比的偏差，并且使用的特定方法会影响最终产生的工件。始终注意这一点，并负责任地插入

这两个插值任务将是

上采样（输入数据在矩形网格上，输出数据在更密集的网格上）

将散乱数据插值到规则网格上

这两个函数（在[-1,1]x[-1,1]中的域

[x，y]上）将

平滑友好的函数：
cos（pi*x）*sin（pi*y）
；范围在
[-1,1]
一个邪恶的（特别是非连续的）函数：
x*y/（x^2+y^2）
，在原点附近的值为0.5；范围在
[-0.5,0.5]
以下是它们的外观：


我将首先演示这三种方法在这四个测试下的行为，然后详细介绍这三种方法的语法。如果您知道应该从方法中得到什么，您可能不想浪费时间学习它的语法（看看您，
interp2d
）

测试数据
为了明确起见，下面是我用来生成输入数据的代码。虽然在这个特定的例子中，我显然知道数据背后的函数，但我将只使用它来生成插值方法的输入。我使用numpy是为了方便（主要是为了生成数据），但仅使用scipy也足够了

import numpy as np
import scipy.interpolate as interp

# auxiliary function for mesh generation
def gimme_mesh(n):
    minval = -1
    maxval =  1
    # produce an asymmetric shape in order to catch issues with transpositions
    return np.meshgrid(np.linspace(minval, maxval, n),
                       np.linspace(minval, maxval, n + 1))

# set up underlying test functions, vectorized
def fun_smooth(x, y):
    return np.cos(np.pi*x) * np.sin(np.pi*y)

def fun_evil(x, y):
    # watch out for singular origin; function has no unique limit there
    return np.where(x**2 + y**2 > 1e-10, x*y/(x**2+y**2), 0.5)

# sparse input mesh, 6x7 in shape
N_sparse = 6
x_sparse, y_sparse = gimme_mesh(N_sparse)
z_sparse_smooth = fun_smooth(x_sparse, y_sparse)
z_sparse_evil = fun_evil(x_sparse, y_sparse)

# scattered input points, 10^2 altogether (shape (100,))
N_scattered = 10
rng = np.random.default_rng()
x_scattered, y_scattered = rng.random((2, N_scattered**2))*2 - 1
z_scattered_smooth = fun_smooth(x_scattered, y_scattered)
z_scattered_evil = fun_evil(x_scattered, y_scattered)

# dense output mesh, 20x21 in shape
N_dense = 20
x_dense, y_dense = gimme_mesh(N_dense)

平滑函数与上采样
让我们从最简单的任务开始。以下是如何从形状为
[6,7]
的网格向上采样到形状为
[20,21]
的网格，以实现平滑测试功能：


尽管这是一项简单的任务，但输出之间已经存在细微的差异。乍一看，这三种产出都是合理的。根据我们对底层函数的先验知识，有两个特性需要注意：中间的
griddata
最扭曲数据。注意图的
y==-1
边界（距离
x
标签最近）：函数应严格为零（因为
y==-1
是平滑函数的节点线），但
griddata
的情况并非如此。还要注意图的
x==-1
边界（后面，左边）：基础函数在
[-1，-0.5]
处有一个局部最大值（意味着边界附近的零梯度），但是
griddata
输出清楚地显示了该区域的非零梯度。效果是微妙的，但它仍然是一种偏见

邪恶函数与上采样
更难的任务是对邪恶函数执行上采样：


三种方法之间开始出现明显的差异。查看曲面图，在
interp2d
的输出中出现明显的伪极值（请注意绘制曲面右侧的两个凸起）。而
griddata
和
rbf插值器
乍一看似乎产生了类似的结果，在
[0.4，-0.4]
附近产生了基础函数中缺少的局部极小值

然而，
rbf插值器
有一个关键的优势：它尊重基础函数的对称性（当然，样本网格的对称性也使之成为可能）。
griddata
的输出破坏了采样点的对称性，而在平滑情况下，采样点的对称性已经很弱

光滑函数与散乱数据
通常需要对分散的数据执行插值。因此，我希望这些测试更加重要。如上所示，在感兴趣的域中伪均匀地选择样本点。在实际场景中，每个测量可能会有额外的噪声，并且应该考虑是否将原始数据插入到初始信息中是有意义的。
# reminder: x_sparse and y_sparse are of shape [6, 7] from numpy.meshgrid
zfun_smooth_interp2d = interp.interp2d(x_sparse, y_sparse, z_sparse_smooth, kind='cubic')   # default kind is 'linear'
# reminder: x_dense and y_dense are of shape (20, 21) from numpy.meshgrid
xvec = x_dense[0,:] # 1d array of unique x values, 20 elements
yvec = y_dense[:,0] # 1d array of unique y values, 21 elements
z_dense_smooth_interp2d = zfun_smooth_interp2d(xvec, yvec)   # output is (20, 21)-shaped array

kind = 'cubic'
if kind == 'linear':
    kx = ky = 1
elif kind == 'cubic':
    kx = ky = 3
elif kind == 'quintic':
    kx = ky = 5
# bisplrep constructs a spline representation, bisplev evaluates the spline at given points
bisp_smooth = interp.bisplrep(x_sparse.ravel(), y_sparse.ravel(),
                              z_sparse_smooth.ravel(), kx=kx, ky=ky, s=0)
z_dense_smooth_bisplrep = interp.bisplev(xvec, yvec, bisp_smooth).T  # note the transpose

if not rectangular_grid:
    # TODO: surfit is really not meant for interpolation!
    self.tck = fitpack.bisplrep(x, y, z, kx=kx, ky=ky, s=0.0)

tx, ty, c, o = _fitpack._surfit(x, y, z, w, xb, xe, yb, ye, kx, ky,
                                task, s, eps, tx, ty, nxest, nyest,
                                wrk, lwrk1, lwrk2)