Python 求解两个耦合的二阶边值问题

我使用模块

solve_bvp

求解了一个具有两个边界条件的二阶微分方程。然而，现在我正试图求解两个二阶微分方程组

U''+a*B'=0

B''+B*U'=0

边界条件U（+/-0.5）=+/-0.01和B（+/-0.5）=0。我已经把它分解成一个第一常微分方程组，我正试图用

解bvp

来数值求解它们。然而，对于我的解决方案，我只是得到满是零的数组。我认为我执行的边界条件是错误的。我不清楚如何处理文档中的两个以上方程式。我的尝试如下

import numpy as np
from scipy.integrate import solve_bvp
import matplotlib.pyplot as plt
%matplotlib inline
from scipy.integrate import solve_bvp
alpha = 1E-8
zeta = 8E-3
C_k = 0.05
sigma = 0.01
def fun(x, y):

    return np.vstack((y[1],-((alpha)/(C_k*sigma))*y[2],y[2], -(1/(C_k*zeta))*y[1]))

def bc(ya, yb):

    return np.array([ya[0]+0.001, yb[0]-0.001,ya[0]-0, yb[0]-0])

x = np.linspace(-0.5, 0.5, 5000)
y = np.zeros((4, x.size))
print(y)


sol = solve_bvp(fun, bc, x, y)
print(sol)

---

在我的问题中，我刚刚重新标记了a和b，但它们只是我输入的参数。我有这组方程的解析解，所以我知道存在一个非平凡的方程。任何帮助都将不胜感激。

如果您在注释中至少陈述一次，或者通过指定特定命名变量来说明您希望如何组成状态向量，那么大多数情况下都会非常有用

通过导数返回向量的形式，我想你是有意的

U, U',  B, B'

这意味着

U=y[0]，U'=y[1]

和

B=y[2]，B'=y[3]

，因此导数向量应该正确

return y[1], -((alpha)/(C_k*sigma))*y[3],  y[3], -(1/(C_k*zeta))*y[1]

以及边界条件

return ya[0]+0.001, yb[0]-0.001, ya[2]-0, yb[2]-0

特别是，由于存在奇异雅可比矩阵，边界条件应在第一步中抛出算法，请始终检查解决方案结构的

.success

字段和

.message

字段

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请注意，默认情况下，实验

solve_bvp

的绝对和相对公差为

1e-3

，节点数量限制为

500

将初始节点数设置为50（5000太多了，解算器会在必要时进行细化），将公差设置为

1-6

，我会得到以下明显满足边界条件的解图

---

所以我把方程写成四个常微分方程，这样U'=V，V'=-（（α/（C_ksigma））*H，B'=H，H'=-（1/（C_kzeta））*我希望这是清楚的。我刚刚尝试了你给出的代码，边界条件不满足于B的解，即边界处的0。我对你如何编写导数的返回向量有点困惑。如果你能进一步解释，我将非常感激，谢谢。好的，我可能已经修复了它并注意到了它同意你在评论中所做的编辑。但是，B的解仍然不满足零边界条件。你在代码中注意到了什么吗？它看起来像真实的解，但颠倒了，边界不满足。也许我的方程中遗漏了一个负数。据我所见，我的返回向量是与您的注释兼容。scipy解算器会自动将返回的列表转换为适当的numpy结构，因此您无需手动执行此操作。感谢您的详细回答，这非常有用。如何设置bvp函数中的公差？使用选项

tol=1e-7

。您可以增加如果需要，节点的

max_nodes=1500

或更高，但此处不需要，除非您使用

tol=1e-12

或更低。如果可以，请重新缩放问题，以便所有解决方案组件的典型比例都在

1

左右，我认为解算器中的启发式是围绕该假设构建的。