Python 牛顿-拉斐逊法方程求解算法

在下面的代码中，当我选择例如“max_n_iterations”等于1时，列表“approximations”在打印时会显示两个元素，其中应该只显示一个（初始x）

这是什么原因

#This exercise shows an immediate way to find the root of a real valued funciton, using   successive better approximations
#This method is known as Newton Raphson method

print 'Find the root of a given function - NEWTON RAPHSONS METHOD'
print 'The function is the following: ...'
x=input('Choose an initial estimate:') #An initial estimate is necessary to be choosen   to start the iteration process
x=float(x) #The number inserted is transformed into a floating point number
max_n_iterations=input('Choose max n. iterations:') #The user decides the maximum number   of iterations to run
approximations = [] #Vector collecting all the intermediate solutions; i.e. the  approximated roots evaluated before reaching the final solution 
iterations= []

def f(x):  #The given function has to be inserted manually in the code
return 2*x**3+45*x+1/x**2+16

def D(f):  #Evaluates the first derivative of the given function, using the definition of derivative 
def df(x, h): #x is the initial estimate, h is the increment
    return (f(x+h) - f(x))/h #Difference quotient
return df #First derivative

def newtons_method(f, x, h=0.000001, epsilon=0.000001,): #This is the main process: f is  the given function, x and h are the same as above, epsilon is the tolerance level. Epsilon  and h have to be choosen sufficiently small
df = D(f) #df is just the first derivative, as before
for i in range(max_n_iterations): #The code runs until the maximum number of iterations  is reached
    x1 = x - f(x)/df(x, h) #Essence of Newton Raphson method: the iteration process
    approximations.append(x) #Every intermediate solution is collected into a vector, as  defined above
    iterations.append(1)
    if abs(x1 - x) < epsilon: #When the absolute difference between two successive roots  is less than the tolerance level (i.e. the sequence of solutions strongly converges), the  program exists the cycle
        break
    x = x1 #The next solution becomes the starting solution in the new cycle
return x #Final solution

def final_solution(): #The final solution from the Newton Raphson method
return newtons_method(f,x) 

df=D(f) #These values have to be inserted again to allow the execution of the final step
h=0.000001
epsilon=0.000001
x=newtons_method(f,x)

if abs((x-f(x)/df(x,h))-x) < epsilon: #If (strong) convergence has been reached
   print 'Solution is:', final_solution() #Prints the final solution
   print 'Approximations before reaching convergence:', approximations #Prints the vector of intermediate solutions
   print 'Convergence has been reached after', len(iterations), 'iterations'
   print 'Newton Raphson method was successful!'
elif abs((x-f(x)/df(x,h))-x) >= epsilon: #If (strong) convergence has not been reached
   print 'Approximated solution is:', final_solution()
   print 'Approximations evaluated:', approximations
   print 'Convergence has not been reached after', max_n_iterations, 'iterations'
   print 'Newton Raphson method was not successful'

#本练习展示了一种立即找到实值函数根的方法，使用逐次更好的近似
#这种方法称为牛顿-拉斐逊法
打印“查找给定函数的根-牛顿-拉斐逊方法”
打印“函数如下：…”
x=输入（“选择初始估计：”）#需要选择初始估计才能开始迭代过程
x=浮点（x）#插入的数字转换为浮点数
max_n_iterations=input（'选择max n.iterations:'）#用户决定要运行的最大迭代次数
近似值=[]#收集所有中间解的向量；i、 e.在达到最终解之前评估的近似根
迭代次数=[]
def f（x）：#必须在代码中手动插入给定函数
返回2*x**3+45*x+1/x**2+16
def D（f）：#使用导数的定义计算给定函数的一阶导数
def df（x，h）：#x是初始估计值，h是增量
返回（f（x+h）-f（x））/h#差商
返回df#一阶导数
def newtons_方法（f，x，h=0.000001，epsilon=0.000001，）：#这是主要过程：f是给定函数，x和h与上面相同，epsilon是公差水平。ε和h必须选择足够小的值
df=D（f）#df和以前一样，只是一阶导数
对于范围内的i（最大迭代次数）：#代码运行直到达到最大迭代次数
x1=x-f（x）/df（x，h）#牛顿-拉斐逊法的本质：迭代过程
近似值。追加（x）#如上所述，将每个中间解收集到一个向量中
迭代。追加（1）
如果abs（x1-x）=epsilon:#如果没有达到（强）收敛
打印“近似解为：”，最终解（）
打印“估算的近似值：”，近似值
打印“最大迭代次数”和“迭代次数”之后未达到收敛”
打印“牛顿-拉斐逊方法不成功”

在

newtons\u method（）

返回值之前，它必须再次调用自身。例如：

def newtons_method(f, x, h=0.000001, epsilon=0.000001,):
    ...
    if abs((x - f(x)/df(x, h))-x)< epsilon:
       print 'Solution is:', round(newtons_method(f,x),6) # function called again here
       ...
       return x

    else:
       print 'Approximated solution is:', round(newtons_method(f,x),4) # and again here
       ...
       return x

定义牛顿法（f，x，h=0.000001，ε=0.000001，）： ... 如果abs（（x-f（x）/df（x，h））-x） 因此，对

newtons\u method（）

的第一次调用永远不会返回，因为它必须在

return

之前调用自己，然后该函数调用必须在

return

之前调用自己，然后

---

你能修改你的代码使

newtons\u method（）

不以这种方式递归调用吗？

正如ajcr所说，不要调用牛顿方法从牛顿方法中获得解。f（x）就是你所需要的

---

其次，当abs（x-x1）一个好的起点是Carmack的快速平方根逆，它对函数的初始估计进行2次（硬连线）迭代。NR实现所能达到的最短时间，应该会给您提供扩展到更精确解决方案的总体思路。林克：谢谢，但我的目的是使用牛顿-拉斐逊方法。我知道有可能使用这种方法，但我只是被困在了你发布的一些代码中，让我读一下，然后我可以给出一个更恰当的回答！我刚离开工作场所，看不清楚这一点，我从四舍五入中感觉很痒（为什么是圆点？！）。稍后我会在家里检查这个，但我想其他人可能会帮你。谢谢！这正是我没有发现的错误。我修改了“newtons\u方法”，使函数只打印x。正如bconstanzo所注意到的，我还删除了所有不必要的舍入。我仍然遇到的问题是，它只执行“else”条件，而从不执行“if”条件……我不确定这是否是您的问题，但似乎您没有比较

if

条件中的两个连续根：

（x-f（x）/df（x，h））-x

。最终的

x

应该是您当前对根的猜测吗（以及该表达式中的

x

的其他实例是您以前的猜测）？最终的x是最终解（根），而括号中的第一个表达式只是检查收敛条件，以评估该方法是否成功。无论如何，我写了一个更好的代码，可能是m