Python 计算吸收马尔可夫链基本矩阵的最佳方法？

我有一个非常大的吸收马尔可夫链（从10个状态扩展到数百万个问题），非常稀疏（大多数状态只能对4或5个其他状态做出反应）

我需要计算这个链的一行基本矩阵（给定一个起始状态的每个状态的平均频率）

通常，我会通过计算

（I-Q）^（-1）

来实现这一点，但我还没有找到一个实现稀疏矩阵求逆算法的好库！我看过几篇关于它的论文，大部分都是P.h.D.级别的作品

我在谷歌上的大部分搜索结果都指向了一些帖子，这些帖子讨论了在求解线性（或非线性）方程组时不应该使用矩阵求逆。。。我不觉得这特别有用。基本矩阵的计算是否类似于求解方程组，而我只是不知道如何用另一个的形式来表示

因此，我提出两个具体问题：

计算稀疏矩阵逆矩阵的一行（或所有行）的最佳方法是什么？

或

计算大型吸收马尔可夫链基本矩阵行的最佳方法是什么？

Python解决方案会很好（因为我的项目目前仍然是一个概念验证），但是如果我必须用一些好的ol'Fortran或C语言来完成我的工作，这不是问题

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编辑：我刚刚意识到矩阵A的逆B可以定义为AB=I，其中I是单位矩阵。这可能允许我使用一些标准的稀疏矩阵解算器来计算逆矩阵。。。我得走了，请随意完成我的思路，我开始认为这可能只需要一个真正的初等矩阵属性…

你得到建议不要使用矩阵逆解方程的原因是数值稳定性。当矩阵的特征值为零或接近零时，就会出现问题，要么是缺少逆矩阵（如果为零），要么是数值稳定性问题（如果接近零）。因此，解决这个问题的方法是使用一种不需要求逆的算法。解决办法是使用。这并没有提供一个完整的倒数，而是让你得到一个行梯队形式，一个上三角形式的推广。如果矩阵是可逆的，则结果矩阵的最后一行包含一行逆矩阵。因此，只需安排消除的最后一行是您想要的行

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我将把它留给你们去理解为什么I-Q总是可逆的。

假设你们要做的是计算出，维基百科上重现的“有限马尔可夫链”（Kemeny和Snell）的方程是：

或者扩展基本矩阵

重新安排：

这是使用函数求解线性方程组的标准格式

将这一点付诸实践，以证明性能上的差异（即使对于比您描述的更小的系统也是如此）

介绍计算预期步骤数的两种备选方法

def expected_steps_fundamental(Q):
    I = numpy.identity(Q.shape[0])
    N = numpy.linalg.inv(I - Q)
    o = numpy.ones(Q.shape[0])
    numpy.dot(N,o)

def expected_steps_fast(Q):
    I = numpy.identity(Q.shape[0])
    o = numpy.ones(Q.shape[0])
    numpy.linalg.solve(I-Q, o)

选择一个足够大的示例，演示计算基本矩阵时出现的问题类型：

P = example(2000)
# drop the absorbing state
Q = P[:-1,:-1]

生成以下计时：

%timeit expected_steps_fundamental(Q)
1 loops, best of 3: 7.27 s per loop

以及：

还需要进一步的实验来测试稀疏矩阵的性能影响，但很明显，计算逆矩阵的速度要比您预期的慢得多

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与这里介绍的方法类似的方法也可用于步骤数的变化

如果您需要Python解决方案，请将其标记为

Python

。还有其他的堆栈交换可能或多或少也有用。我正在研究PGM的一些东西，想知道是否有一种方法可以计算出这个值——不过不知道稀疏矩阵，祝你好运！

%timeit expected_steps_fundamental(Q)
1 loops, best of 3: 7.27 s per loop

%timeit expected_steps_fast(Q)
10 loops, best of 3: 83.6 ms per loop