Recursion 如何找到递归关系的运行时间？

此重复关系的运行时间为

O（nlogn）

。既然我是算法新手，我该如何从数学上证明这一点

T(n) = 2⋅T(n/2) + O(n)
T(n) = 2 ( 2⋅T(n/4) + O(n) ) + O(n)  // since T(n/2) = 2⋅T(n/4) + O(n)

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到目前为止，我可以看到，如果我假设

n

是2的幂，比如

n=2m

，那么我可能可以证明这一点，但我没有弄清楚。有人能帮我吗？

如果你使用主定理，你会得到你期望的结果

如果你想“用手”证明这一点，你可以通过假设

n=2m

是2的幂（正如你已经说过的）。这会导致你

T(n) = 2⋅T(n/2) + O(n) = 2⋅(2⋅T(n/4) + O(n/2)) + O(n) = 4⋅T(n/4) + 2⋅O(n/2) + O(n) = 4⋅(2⋅T(n/8) + O(n/4)) + 2⋅O(n/2) + O(n) = Σ_k=1,...,m 2^k⋅O(n/2^k) = Σ_k=1,...,m O(n) = m⋅O(n) 其中，

c

是介于

1

和

2

之间的常数

您可以使用小于

n

的最大2次方执行相同操作。这将引导您进入

T（n）≥ T（n''）

我们知道

T（n''）

在

O(n''⋅log(n'')) = O(c⋅n⋅log(c⋅n)) = O(n⋅log(n))

其中，

c

是介于

1/2

和

1

之间的常数

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总的来说，T（n）的复杂度是以

T（n'）

和

T（n'）

的复杂度为界的，两者都是

O（n⋅log（n））

因此

T（n）

也在

O（n）中⋅log（n））

，即使不是2的幂。

谢谢，现在我能理解了。

O(n''⋅log(n'')) = O(c⋅n⋅log(c⋅n)) = O(n⋅log(n))