Recursion SICP：为什么这种基于递归的正弦近似有效？

是计算机程序的结构和解释的问题和解决方案练习1.15（）。我的问题是，我不知道这些公式的组合实际上是如何工作的：

及

对于较小的

x

弧度值

我理解弧度角越接近零，它就越接近该角度的正弦。我看到了很好的解释（麻省理工学院开放式课程，可汗学院）。我还计算出了

推导了计算公式。但是，如何将它们结合起来来推导出sin（x）的答案呢？

p

函数似乎只是将变量角度除以

3

每次递归过程，直到

angle

低于

0.1

，然后在返回的过程中，我们执行

p

的次数与必须除以

3

的次数相同。看来

神奇地变得和你一样

通过递归应用。怎么用？我对递归理论不是很精通。此外，如果这是对数接近

0.1

，这并不是说我们把很多小的

x

的积分加起来。这似乎是在做一些模糊的事情，比如Y-combinator——我也没有很好地理解它

---

另外，当我们看到递归步骤（递归）反复将

角度

除以$3$时，是什么告诉你这是对数的？我的意思是，它看起来在每一个除法上都有巨大的数量级跃迁，但是有没有另一种分析方法来称之为对数缩减呢？

首先要指出的是，这并不准确，因为x只是一个近似值。正确的符号是 . 这似乎有点吹毛求疵，但它很重要，因为这解释了书中给出的正弦的练习和定义

正弦程序的定义中规定了和的组合方式。我们希望根据x的值返回近似值或第二个公式（）

如果x“足够小”，那么我们只返回x作为sin（x）的近似值。但如果它不是“足够小”，我们将使用。这显然很好，因为这是平等的。在你注意到sin（x/3）更小，因此它可能“足够小”之前，它似乎是不必要的。这就是为什么这个过程是递归的，我们将继续这样做，直到sine的参数“足够小”

你困惑的根源似乎在这里：

因此，它似乎神奇地变成了相同的

事实并非如此。这有点棘手，因为

（define（px）（*（3x）（*（4（立方体x）））

不包含任何正弦，但请记住，这个定义中的x只是一个局部变量。但是如果我们查看正弦过程定义的最后一行，我们可以看到我们实际上在调用

（p（sin（/angle 3.0）））)

因此正弦在

p

调用的参数中

---

递归在步数方面是对数的原因是我们调用

p

过程的次数大约是我们必须将角度除以3.0才能得到小于0.1的值的次数。如果角度是一个大数字，则该值接近1。所以我们必须调用

p

，直到角度/（3.0^n）<0.1，它近似于n，这样3.0^n>角度，它近似于“数量级跃迁”=对数。对数计算数量级。它神奇地变成了

sin（x）=3*sin（x/3）-4*sin（x/3）^3=3*x/3-4*（x/3）^3=x-4/27x^3

至于“它是如何工作的”——你已经展示了它是如何工作的。您证明了三角恒等式，并确认了小

x

的近似值。这只是递归：把一个困难的问题转化为一个更简单的问题。重复上述步骤，直到问题变得如此简单，你就能解决它。