String O（n^2）（或O（n^2lg（n））？）算法，用于计算两个'的最长公共子序列（LCS）；环&x27；一串

这是在今天的太平洋西北地区编程竞赛中出现的一个问题，在比赛中没有人解决它。这是问题B，完整的问题集在这里：。有一个著名的O（n^2）算法使用动态规划求解两个字符串的LCS。但是当这些弦延伸到环的时候我不知道

注意，它是子序列而不是子字符串，因此元素不需要彼此相邻

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另外，它可能不是O（n^2），而是O（n^2lgn）或者可以在普通计算机上在5秒钟内给出结果的东西。

您可以将第一个和第二个字符串加倍，然后使用普通方法，然后将位置环绕。

搜索web，这似乎在论文的第4.3节“增量字符串比较”中有所介绍，由Landau，Myers和Schmidt以O（ne）最好将字符串“加倍”，并应用标准的动态编程算法。问题在于，要获得最佳循环LCS，必须“从多个初始条件开始算法”。通常，仅一个初始条件（例如，在边界处将所有Lij变量设置为0）不起作用。实际上，需要的初始状态数是O（N）（它们跨越一条对角线），所以我们回到O（N^3）算法。 然而，该方法确实有一些优点，因为它可以用于为CLC设计有效的O（N^2）启发式（不是精确的，而是接近精确的）

我不知道是否存在一个真正的O（N^2），如果有人知道，我会非常感兴趣。 CLCS问题具有非常有趣的“周期性”特性：CLCS的长度为 p倍重复字符串是字符串的CLC的p倍。这可以通过采用问题的几何视图来证明

此外，这个问题还有一些额外的好处：可以证明，如果Lc（N）表示长度为N的两个随机字符串的CLCS长度的平均值，那么 |Lc（N）-CN|是O（\sqrt{N}），其中C是Chvatal-Sankoff常数。对于标准LCS的平均长度L（N），我知道的唯一速率结果是| L（N）-CN是O（sqrt（Nlog N））。有一个比较Lc（N）和L（N）的好方法，但我不知道

另一个问题：很明显，与LCS长度相反，CLCS长度不是超加的。我的意思是，CLCS（X1X2，Y1Y2）并不总是大于CLCS（X1，Y1）+CLCS（X2，Y2）（用计算机很容易找到反例）。 但平均长度Lc（N）似乎可能是超加的（Lc（N1+N2）大于Lc（N1）+Lc（N2））——尽管如果有证据我不知道。

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对这个问题有一点兴趣的是，N的前几个值的值Lc（N）/N将为Chvatal-Sankoff常数提供良好的界限（比L（N）/N好得多）。

继麦克道拉的回答之后，我想指出O（N^2 lg N）Maes论文中提出的解决方案是竞赛问题的预期解决方案（检查）。Landau等人论文中的O（ne）解不适用于此问题，因为该论文针对的是编辑距离，而不是LCS。特别是，仅当编辑操作（添加、删除、替换）都具有单位（1、1、1）成本时，循环编辑距离的解决方案才适用。另一方面，LCS相当于使用（添加、删除、替换）成本（1、1、2）编辑距离。这两者并不等同；例如，考虑输入字符串“ABC”和“CXY”（对于非循环情况，同样可以构造循环反例）。两个字符串的LCS为“C”，但最小单位成本编辑是依次替换每个字符

在110行但没有复杂数据结构的情况下，Maes的解决方案朝着在竞赛环境中合理实现的高端方向发展。即使Landau等人的解决方案可以适用于处理循环LCS，但数据结构的复杂性使其在竞赛环境中不可行

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最后但并非最不重要的一点是，我想指出，对于CLC确实存在一个O（n^2）解决方案，如下所述：60行，没有复杂的数据结构，只有2个数组，这个解决方案在竞赛设置中实现是非常合理的。不过，找到解决方案可能是另一回事。

我起初尝试过，但如果原始字符串重叠，那么当您将它们加倍时，LCS也会加倍。这可能会变得复杂。。。。我还尝试计算一个字符串的LCS和另一个字符串的双精度LCS，但它具有相似的特性problem@dementrock：我不明白，您能显示示例字符串吗？例如（如问题中所示），“megamind”和“mindmega”，当您简单地将其加倍时，您将得到“megamindmegamind”和“mindmegamindmega”，在这种情况下，LCS的长度为l2！（“megamindmega”）（我没有仔细计算它，但它仍然是一个反例）对于我尝试的方法，使用“metrocity”和“kryptonite”（我忘了提到字符串也可以还原，但这对算法没有多大影响）。将其中一个值加倍，例如“metrocity”和“etinotpyrk”，在这种情况下，LCS的长度大于或等于6（“etroty”），但原始LCS是“etoty”@Dani。这是一个子序列，而不是子串。所以它是B[A]CD[B]A[CD]你确定存在O（n^2）算法吗？他们说“大”箱子只有1500个字母。1500^3大约只有33亿美元，在一台速度很快的机器上不需要太长时间。。。但是O（n^3）是一种trivial@Nemo嗯