Time complexity O（n）和O（logn）的乘积是什么？

在学习合并排序算法时，发现合并排序的时间复杂度为

O（nlogn）

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想知道我们是否可以说

O（n logn）

=O（n）*O（logn）？

不，这样做真的没有意义。Big-O函数产生函数集，而函数集不能相乘

更一般地说，您通常不会对O（…）结果执行任何操作。没有加法，减法，乘法。没有代数。O（…）通常在一个证明的结论：“基于上面的分析，我得出结论，Fink算法的最坏情况复杂度是O（无论什么）。”它并没有真正出现在它可能会受到代数操作的中间。

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（我想你可以执行集合运算。我从来没有见过有人这样做。）

实际上，Big-o的定义是不可交换的，让我们看一个例子：

设f定义为f（n）=n

f（n）=O（n^2）&f（n）=O（n^3），但是O（n^2）！=O（n^3）

这是因为在这里使用等号不能准确地定义f（n）

is

O（g）

无论如何，有点不准确，以下是sipser对Big-O的定义：

假设f（n）=O（g（n））
如果存在正整数c和n0，则对于每个整数n≥ 不， f（n）≤ CG（n）。
当f（n）=O（g（n））时，我们说g（n）是 当f（n）=O（g（n））时，我们说g（n）是 f（n），或者更精确地说，g（n）是 f（n），强调我们正在抑制常数因子

因此，为了证明你所说的，你必须首先定义等式中

*

的含义。并显示每个函数为O（n logn），它也是O（n）*O（logn），反之亦然

但由于再次不准确，将*定义为符号多项式乘法，我们对一些常数正c和d有如下结果

O（n log n）=O（cn log n）=O（log n^（cn））=O（d log n^（cn））=O（log（n^cn）^d）=O（log n^cdn）~=log n^cdn~=cdn*log n

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=O（n）*O（logn）=O（cn）*O（dlogn）=O（cn）*O（logn^d）~=cn*（logn^d）~=cn*d*logn~=cdn*logn

要正式说明做什么

O（n）*O（logn）

，让我们做以下定义：

函数

f

位于

O（n）*O（logn）

当且仅当它可以作为产品

f（n）=g（n）h（n）

写入，其中

g

位于

O（n）

且

h

位于

O（logn）

中

现在我们可以证明集合

O（n）*O（logn）

等于集合

O（nlogn）

，方法是证明两个集合中的函数相同：

• 给定

  g

  在

  O（n）

  和

  h

  在

  O（logn）

  中，有

  ng

  ，

  g

  ，

  nh

  ，

  h

  ，这样对于所有

  n>=max（nĒg，nĒh）

  我们都有

  g（n）

  1g（n）是为了避免在

  n

  为零时被零除