Time complexity 增长顺序

为了

是

我试着把两者都除以n，结果

f = O(g)
f = 0(g)
f = Omega(g)?

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但我仍然不知道哪一个生长得更快。有人能帮我解释一下原因吗？我真的很想知道（不使用计算器的情况下，）如何确定哪一个增长更快。

比较它们的对数曲线可能最容易：

如果（对于某些C1、C2、a>0）

f

然后（对于足够大的n）

log（f）

两者都受对数（n）增长的控制，所以问题是哪个残差更大。log（n）残差的增长速度比log（log（n））快，无论k有多小或a有多大，因此g的增长速度都比f快

所以用大O表示法：g的增长速度比f快，所以f可以（渐近地）从上面被一个类似g的函数所限定：

log(f) < log(n) + a log(log(n)) + log(C1)
log(g) < log(n) + k log(n) + log(C2)

f（n）

所以f=O（g）。类似地，g可以由f从下方限定，因此g=ω（f）。但是f不能从下面被g这样的函数所限定，因为g最终会超过它。那么f！=ω（g）和f！=θ（g）

但aaa提出了一个很好的观点：直到n变得非常大，g才开始支配f

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我对算法缩放没有太多经验，因此欢迎进行更正。

检查它们的交点如何

f(n) < C3 g(n)

我用Mathematica作弊

你也可以用衍生品来推理

Solve[Log[n] == n^(0.01/5), n]

                                       1809
{{n -> 2.72374}, {n -> 8.70811861815 10    }}

考虑当n变得非常大时会发生什么，第一个函数的变化趋于零，第二个函数不会失去它的导数（指数大于0）

这告诉你理论上哪个更复杂。

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但是在实际应用中，第一个函数的增长速度会更快。

我将把它分解为几个简单的、可重用的引理：

引理1：对于正常数k，f=O（g）当且仅当f=O（KG）

证明：假设f=O（g）。然后存在常数c和N，使得N>N时| f（N）|n和常数（c/k），所以f=O（kg）。相反，两者有点相似

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引理2：如果h是一个正的单调递增函数，f和g对于足够大的n是正的，那么f=O（g）当且仅当h（f）=O（h（g））

证明：假设f=O（g）。然后存在常数c和N，使得N>N时| f（N）|M是正的，所以对于N>max（N，M），f（N）max（n，M），最后是h（f（n））max（n，M），因为h是正的。因此h（f）=O（h（g））。 反之亦然；关键的事实是，如果h是单调递增的，那么h（a）a

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引理3：如果h是可逆单调递增函数，则f=O（g）当且仅当f（h）+O（g（h））

证明：假设f=O（g）。然后存在常数c，N，使得| f（N）|N。因此| f（h（N））|N。因为h（N）是可逆的且单调递增的，所以当N>h^-1（N）时，h（N）>N。因此h^-1（N）是我们需要的新常数，f（h（N））=O（g（h（N））。 相反，使用g的倒数，也会出现类似的情况

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引理4：如果h（n）对于n>M是非零的，则f=O（g）当且仅当f（n）h（n）=O（g（n）h（n））

证明：如果f=O（g），那么对于常数c，N，| f（N）|N。因为| h（N）|对于N>M是正的，所以| f（N）h（N）|max（N，M）和so f（N）h（N）=O（g）h（N））。 相反，使用1/h（n）也会出现类似的情况

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引理5a:logn=O（n）

证明：假设f=logn，g=n。那么f'=1/n和g'=1，因此对于n>1，g的增长速度比f快。此外，g（1）=1>0=f（1），对于n>1和f=O（g），则| f（n）<| g（n）|

引理5b:n！=O（对数n）

证明：对于矛盾，假设相反，让f=n和g=logn。然后对于一些常数c，n，| n |n

设d=max（2，2c，sqrt（N+1）），通过引理5a中的计算，由于d>2>1，log d2d（logd）>=dlogd+dlog2=d（log2d）>2clog2d>clog（2d^2）=cg（2d^2）=cg（2d^2）=cg（2d^2）|对于2d^2>N，这是一个矛盾。因此f！=O（g）

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现在我们可以把你最初问的问题的答案组合起来

步骤1：

In[71]:= D[Log[n], n]

1
-
n
In[72]:= D[n^(0.01/5), n]

0.002
------
 0.998
n

对于任何正常数a

证明：用引理5a记录n=O（n）。因此，用引理3（对于h（n）=n^a）、4和1记录n=1/a记录n^a=O（1/a n^a）=O（n^a）。第二个事实类似地用引理5b得出

步骤2：

log n = O(n^a)
n^a != O(log n)

证明：通过步骤1记录n=O（n^0.002）。然后通过引理2（h（n）=n^5），记录^5n=O（（n^0.002）^5）=O（n^0.01）。第二个事实类似

最后答覆：

log^5 n = O(n^0.01)
n^0.01 != O(log^5 n)

换句话说,

n log^5 n = O(n^1.01)
n^1.01 != O(n log^5 n)

证明：将引理4（使用h（n）=n）应用于步骤2

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通过练习，这些规则变得“明显”和第二天性。除非你的测试要求你证明你的答案，否则你会发现自己正在快速解决这些大O问题。

如果不证明一些关于日志的东西，这不是100%的数学洁净度，但他说：

f = O(g)
f != 0(g)
f != Omega(g)

我们记录了以下两种情况：

f = log(n)^5
g = n^0.01

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从这一点我们可以看到，第一个逻辑逐渐变慢，因为它有一个双对数，并且对数增长缓慢告诉您数字n中大约有多少位数。因此，如果g的位数逐渐增长快于f的位数，那么实际数字g的增长肯定快于f！

这可能更适合。对于mathoverflow可能太基本了。@Space\u COwbOy这不适合mathoverflow.net！这是为从事原创工作的研究数学家准备的。这是一条路。哈哈，是的，我不知道为什么这会被视为离题。是的，这是一个CS类（算法）的家庭作业问题。“但是如果你的问题通常涉及……软件算法”

n log^5 n = O(n^1.01)
n^1.01 != O(n log^5 n)

f = O(g)
f != 0(g)
f != Omega(g)

f = log(n)^5
g = n^0.01

log(f) = log(log(n)^5)) = 5*log(log(n)) = O(log(log(n)))
log(g) = log(n^0.01) = 0.01*log(n) = O(log(n))