Types 判决平等

TL；DR：在Agda中，给定

a:a

和

证明：a==B

，我可以获得元素

a:B

---

在我不断学习Agda的过程中，我创建了以下

Prime:nat->Set

datatype，它见证了自然语言的素性

Prime zero = False
Prime (succ zero) = False
Prime (succ (succ n)) = forall {i : nat} -> divides i p -> i <N p -> zero <N i -> i == (succ zero)
  where
    p = succ (succ n)

在哪里

• sga pred

  是依赖对

  （p，pred（p））

  其中

  p:A

• value:Sg A pred->A

  提取值并丢弃证据

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我已经证明了顺序的三分法：对于所有的

a，b

来说，

a这证明是很容易的；就这么做吧（tm）

我想就这一专题指出一些理论背景

Agda的核心是Martin Löf的逻辑框架（LF），它是一个最小依赖类型的lambda演算，它为我们提供了依赖函数等。总体而言，Agda基于内涵ML类型理论

在LF中，有一个称为类型转换规则的规则，该规则声明

 Γ ⊢ t : A     Γ ⊢ A = B
--------------------------
        Γ ⊢ t : B

这将强制术语与类型相等。其中，通过计算（beta）和可扩展性（eta）确定两种类型的定义相等

编辑以澄清：
在内涵TT中，判断平等和命题平等是分开的，命题平等不会给你判断。如果您希望给定两个命题相等项的规则在判断上也是相等的，那么您将处于扩展TT中，这通常是不可取的，因为它使类型检查不可判定。所以，在内涵TT中，它并不总是正确的。
这是定义等式，而不是命题等式。如果没有某种扩展性，你通常不能从
t:A，A=B
（其中
=
是命题的）中导出
t:B
。对，我在考虑eta转换，但我想这会远离内涵TT。
typeCast : {a : _} {A : Set a} {B : Set a} (el : A) (pr : A == B) -> B
typeCast {a} {A} {.A} elt refl = elt

 Γ ⊢ t : A     Γ ⊢ A = B
--------------------------
        Γ ⊢ t : B