Types 依赖对类型

在《软件基础》中，我们介绍了参数化命题：

Definition is_three (n : nat) : Prop :=
n = 3.
Check is_three.
(* ===> nat -> Prop *)

这让我想起了依赖对类型，从我们这里可以定义依赖对类型：

Inductive sigT {A:Type} (P:A -> Type) : Type :=
existT : forall x :A, P x -> sigT P.

有人能解释一下它们之间的区别吗？还有，在阅读Coq中的HoTT时，它说，既然我们还没有定义命题等式，我们就不能这样做

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这里有很多有趣的东西，为什么我们不能在没有命题等式的情况下做任何有趣的事情呢？

现在让我们假设HoTT代码使用了->道具而不是->类型；这两者的区别与你的问题是正交的

参数化命题p:A->Prop是A型元素的简单属性。除了上面简单的is_三命题外，我们还可以用这种方式表示自然数的更复杂属性。例如：

Definition even (n : nat) : Prop :=
  exists p, n = 2 * p.

Definition prime (n : nat) : Prop :=
  n >= 2 /\
  forall p q, n = p * q -> p = n \/ p = 1.

类型sigT A p type允许我们将类型A限制为满足属性p的元素。例如，sigT nat偶数是所有偶数的类型，sigT nat prime是所有素数的类型，等等。在Coq中，属性是更原始的概念，而像sigT这样的子集类型是派生概念

在传统数学中，属性和子集的概念几乎可以混为一谈：说2是素数等于说它属于所有素数的集合。在Coq的类型理论中，情况并非如此，因为作为一个类型的元素不是一个命题：例如，你不能陈述一个定理说2是sigT-nat-prime的元素。以下代码段引发错误：

Lemma bogus : (2 : {x : nat & prime x}).
(* Error: *)
(* The term "2" has type "nat" while it is expected to have type *)
(*  "{x : nat & prime x}". *)

{…&…}是Coq标准库中定义的sigT类型的语法糖

我们能得到的最接近的结果是，可以从该类型中提取2：

Lemma fixed : exists x : {x : nat & prime x}, 2 = projT1 x.

其中projT1是提取依赖对的第一个组件的函数。但是，这比简单地说明2是素数要麻烦得多：

Lemma prime_two : prime 2.

一般来说，参数化命题在Coq中更有用，但也有sigT类型派上用场的情况；例如，当我们只关心满足某个属性的类型的元素时。假设您使用一种二进制搜索树在Coq中实现了一个关联映射。您可以从定义任意树的类型树开始：

这种类型定义了一个二叉树，其节点存储自然数的键值对。为了实现查找元素、更新值等功能，使用这种类型，我们可以保持不变，即树的键被排序，即左子树上的键小于节点的键，右子树的键相反。由于该树的用户不希望考虑不满足该不变量的树，因此我们可以使用类型SIGT树WelyFILL，其中WELLY格式：树-PROP表示上述不变量。主要的优点是，这简化了我们库的接口：不是有一个单独的引理说插入函数保持不变，而是用插入函数本身的类型自动表示；用户甚至不需要争论他们使用接口构建的树是否尊重不变量

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至于你的第二个问题，等式是如此的基本，没有它很难定义有趣的属性。例如，上面的属性偶数和素数都是使用等式定义的。

现在让我们假设HoTT代码使用->属性而不是->类型；这两者的区别与你的问题是正交的

参数化命题p:A->Prop是A型元素的简单属性。除了上面简单的is_三命题外，我们还可以用这种方式表示自然数的更复杂属性。例如：

Definition even (n : nat) : Prop :=
  exists p, n = 2 * p.

Definition prime (n : nat) : Prop :=
  n >= 2 /\
  forall p q, n = p * q -> p = n \/ p = 1.

类型sigT A p type允许我们将类型A限制为满足属性p的元素。例如，sigT nat偶数是所有偶数的类型，sigT nat prime是所有素数的类型，等等。在Coq中，属性是更原始的概念，而像sigT这样的子集类型是派生概念

在传统数学中，属性和子集的概念几乎可以混为一谈：说2是素数等于说它属于所有素数的集合。在Coq的类型理论中，情况并非如此，因为作为一个类型的元素不是一个命题：例如，你不能陈述一个定理说2是sigT-nat-prime的元素。以下代码段引发错误：

Lemma bogus : (2 : {x : nat & prime x}).
(* Error: *)
(* The term "2" has type "nat" while it is expected to have type *)
(*  "{x : nat & prime x}". *)

{…&…}是Coq标准库中定义的sigT类型的语法糖

我们能得到的最接近的结果是，可以从该类型中提取2：

Lemma fixed : exists x : {x : nat & prime x}, 2 = projT1 x.

其中projT1是提取依赖对的第一个组件的函数。但是，这比简单地说明2是素数要麻烦得多：

Lemma prime_two : prime 2.

一般来说，参数化建议 tions在Coq中更有用，但也有sigT类型派上用场的情况；例如，当我们只关心满足某个属性的类型的元素时。假设您使用一种二进制搜索树在Coq中实现了一个关联映射。您可以从定义任意树的类型树开始：

这种类型定义了一个二叉树，其节点存储自然数的键值对。为了实现查找元素、更新值等功能，使用这种类型，我们可以保持不变，即树的键被排序，即左子树上的键小于节点的键，右子树的键相反。由于该树的用户不希望考虑不满足该不变量的树，因此我们可以使用类型SIGT树WelyFILL，其中WELLY格式：树-PROP表示上述不变量。主要的优点是，这简化了我们库的接口：不是有一个单独的引理说插入函数保持不变，而是用插入函数本身的类型自动表示；用户甚至不需要争论他们使用接口构建的树是否尊重不变量

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至于你的第二个问题，等式是如此的基本，没有它很难定义有趣的属性。例如，上面的偶数和素数属性都是使用等式定义的。

谢谢Arthur！这是一个很好的解释，也间接显示了Coq中Prop和Type之间的差异。因此，证明固定引理意味着在{x:nat&prime x}中找到projT1等于2的依赖对。然后对于质数2的证明，我们使用策略证明所有pq，2=p*q->p=2\/p=1。。这是正确的理解吗？谢谢亚瑟！这是一个很好的解释，也间接显示了Coq中Prop和Type之间的差异。因此，证明固定引理意味着在{x:nat&prime x}中找到projT1等于2的依赖对。然后对于质数2的证明，我们使用策略证明所有pq，2=p*q->p=2\/p=1。。这是正确的理解吗？