Vector 基于Coq中布尔向量和的值进行推理。（向量的通用实例化类型）

我一直坚持一个很容易表述的定理：

“如果向量的最大元素为0，则向量的每个元素为0”

目标是能够使用“fold_left orb false v”这样的成语。 所以我的第一个目标是证明这个特殊的引理：

Lemma all_then_some (A:Type) : 
 forall (n:nat) (p:Fin.t (S n))
  (v : Vector.t bool (S n))
  (H : (Vector.fold_left orb false v) = false), 
 (Vector.nth v p) = false.
Proof.
...

一些想法：

1） 为了强化这一假设并证明类似的东西：

(forall (b:bool), (List.fold_left orb l b)  = b) <->
(forall (p:nat), (List.nth p l false) = false)
(** NB: variant for lists here! **)

（forall（b:bool），（List.fold_left orb l b）=b）
（对于所有（p:nat），（List.nth pl false）=false）
（**注意：此处列表的变体！**）

2） 使用标准库中的原则“rectS”

3） 使用小比例反射库

更新：要找到部分解决方案，请参阅下面我的答案。（ged）

更新2：解决方案如下：

---

（它被称为“定理all\u then\u someV”）

你确实可以使用math comp中更结构化的引理，这是一个快速的例子[肯定可以改进]：

From mathcomp Require Import all_ssreflect.

Set Implicit Arguments.
Unset Strict Implicit.
Unset Printing Implicit Defensive.

Lemma nat_of_bool_inj : injective nat_of_bool.
Proof. by case=> [] []. Qed.

Lemma all_false n (r : n.-tuple bool) :
  \max_(i in 'I_n) tnth r i <= 0 ->
  forall i, tnth r i = false.
Proof.
by move/bigmax_leqP => H i; apply/nat_of_bool_inj/eqP; rewrite -leqn0 H.
Qed.

来自mathcomp的

要求导入所有\u ssreflect。
设置隐式参数。
取消设置严格的隐式。
取消打印。
注射的引理：注射的奈特。
证明。按大小写=>[]]。Qed。
引理all_false n（r:n.-元组bool）：
\马克斯（我在）那
对于所有i，tnth r i=false。
证明。
按move/bigmax_leqP=>hi；应用/拒绝输入/设备；重写-leqn0h。
Qed。

---

你有一些关于

\big[orb/false]

和

has

的更专门的引理，你确实可以使用math comp中更结构化的引理，这是一个快速的例子[肯定可以改进]：

From mathcomp Require Import all_ssreflect.

Set Implicit Arguments.
Unset Strict Implicit.
Unset Printing Implicit Defensive.

Lemma nat_of_bool_inj : injective nat_of_bool.
Proof. by case=> [] []. Qed.

Lemma all_false n (r : n.-tuple bool) :
  \max_(i in 'I_n) tnth r i <= 0 ->
  forall i, tnth r i = false.
Proof.
by move/bigmax_leqP => H i; apply/nat_of_bool_inj/eqP; rewrite -leqn0 H.
Qed.

来自mathcomp的

要求导入所有\u ssreflect。
设置隐式参数。
取消设置严格的隐式。
取消打印。
注射的引理：注射的奈特。
证明。按大小写=>[]]。Qed。
引理all_false n（r:n.-元组bool）：
\马克斯（我在）那
对于所有i，tnth r i=false。
证明。
按move/bigmax_leqP=>hi；应用/拒绝输入/设备；重写-leqn0h。
Qed。

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你有一些更专门的引理，它们与has和big[orb/false]有关。代码由两部分组成： 我已经在第一部分证明了我的列表引理，同样，我在第二部分几乎证明了向量引理。 第二部分的最后一步有一个问题。 （“归纳p.“原因”将术语“n0”和“p”抽象为一个术语…该术语类型不正确）。我不明白我该怎么做才能代替“归纳p.）

我认为下面的代码可能会有所帮助（因为“destruct”策略类似于“rect”应用程序），但我不确定

Definition G0 h (n:nat) (l:Vector.t bool n) := fold_left orb false (h :: l) = false.
fold G0 in H.
assert (vari : G0 h n l).
exact H.
clear H.
revert h l vari.
set (P := fun n p => forall (h : bool) (l : t bool n) (_ : G0 h n l),
@eq bool (@nth bool (S n) (cons bool h n l) p) false).
unshelve eapply (@Fin.rectS P).

更新2：解决方案如下：

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（它被称为“定理所有”

该代码由两部分组成： 我已经在第一部分证明了我的列表引理，同样，我在第二部分几乎证明了向量引理。 第二部分的最后一步有一个问题。 （“归纳p.“原因”将术语“n0”和“p”抽象为一个术语…该术语类型不正确）。我不明白我该怎么做才能代替“归纳p.）

我认为下面的代码可能会有所帮助（因为“destruct”策略类似于“rect”应用程序），但我不确定

Definition G0 h (n:nat) (l:Vector.t bool n) := fold_left orb false (h :: l) = false.
fold G0 in H.
assert (vari : G0 h n l).
exact H.
clear H.
revert h l vari.
set (P := fun n p => forall (h : bool) (l : t bool n) (_ : G0 h n l),
@eq bool (@nth bool (S n) (cons bool h n l) p) false).
unshelve eapply (@Fin.rectS P).

更新2：解决方案如下：

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（它被称为“定理all\u then\u someV”）

感谢您的帮助，+1，但由于ssreflect的复杂性，我无法将您的答案转换为所需的定理。我已经写了另一个答案，其中包含了一个列表标准库的解决方案，和一个向量的几乎完整的解决方案，但是有一个问题。你到底不明白什么<代码>n.-元组布尔值=大小向量

n

<代码>'I_n序数小于

n

。其余的应该跟进。在我看来，你想研究我的答案，特别是引理

bigmax\u leqP

。用另一种方式说，有一种东西叫做“大操作符”；在着手重新发明它们之前，我建议您研究当前的实现、理论和参考书目。起点：感谢您的帮助，+1，但由于ssreflect的复杂性，我无法将您的答案转换为所需的定理。我已经写了另一个答案，其中包含了一个列表标准库的解决方案，和一个向量的几乎完整的解决方案，但是有一个问题。你到底不明白什么<代码>n.-元组布尔值=大小向量

n

<代码>'I_n序数小于

n

。其余的应该跟进。在我看来，你想研究我的答案，特别是引理

bigmax\u leqP

。用另一种方式说，有一种东西叫做“大操作符”；在着手重新发明它们之前，我建议您研究当前的实现、理论和参考书目。起点：