Wolfram mathematica 数学是一个具有许多奇点的积分_Wolfram Mathematica_Calculus

Wolfram mathematica 数学是一个具有许多奇点的积分

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让Mathematica 7或8做积分的最好方法是什么

NIntegrate[Exp[-x]/Sin[Pi x], {x, 0, 50}]

每个整数都有极点，我们需要柯西原理值。其思想是获得从0到无穷大的积分的良好近似值

使用

Integrate

可以选择

PrincipleValue->True

使用

NIntegrate

我可以给它选择

排除->（Sin[Pi x]==0）

，或者手动给它极点

NIntegrate[Exp[-x]/Sin[Pi x], Evaluate[{x, 0, Sequence@@Range[50], 50}]]

原始命令和以上两个

NIntegrate

技巧给出结果

60980+/-10

。但他们都会吐出错误。如果Mathematica不想给出错误，得到该积分快速可靠结果的最佳方法是什么？

Simon，有理由相信你的积分是收敛的吗

In[52]:= f[k_Integer, eps_Real] := 
 NIntegrate[Exp[-x]/Sin[Pi x], {x, k + eps, k + 1 - eps}]

In[53]:= Sum[f[k, 1.0*10^-4], {k, 0, 50}]

Out[53]= 2.72613

In[54]:= Sum[f[k, 1.0*10^-5], {k, 0, 50}]

Out[54]= 3.45906

In[55]:= Sum[f[k, 1.0*10^-6], {k, 0, 50}]

Out[55]= 4.19199

看起来问题出在x==0。将被积函数k+eps拆分为k+1-eps，用于k的整数值：

In[65]:= int = 
 Sum[(-1)^k Exp[-k ], {k, 0, Infinity}] Integrate[
   Exp[-x]/Sin[Pi x], {x, eps, 1 - eps}, Assumptions -> 0 < eps < 1/2]

Out[65]= (1/((1 + 
   E) (I + \[Pi])))E (2 E^(-1 + eps - I eps \[Pi])
     Hypergeometric2F1[1, (I + \[Pi])/(2 \[Pi]), 3/2 + I/(2 \[Pi]), 
     E^(-2 I eps \[Pi])] + 
   2 E^(I eps (I + \[Pi]))
     Hypergeometric2F1[1, (I + \[Pi])/(2 \[Pi]), 3/2 + I/(2 \[Pi]), 
     E^(2 I eps \[Pi])])

In[73]:= N[int /. eps -> 10^-6, 20]

Out[73]= 4.1919897038160855098 + 0.*10^-20 I

In[74]:= N[int /. eps -> 10^-4, 20]

Out[74]= 2.7261330651934049862 + 0.*10^-20 I

In[75]:= N[int /. eps -> 10^-5, 20]

Out[75]= 3.4590554287709991277 + 0.*10^-20 I

显然，-Log[eps]/Pi来自x==0时的极点。所以，如果一个减去这个，就像主值法对其他极点做的一样，最终得到一个有限值：

In[9]:= % /. Log[eps] -> 0

Out[9]= (I (-1 + E) \[Pi] - 
 2 (1 + E) (HarmonicNumber[-((-I + \[Pi])/(2 \[Pi]))] + 
    Log[2 \[Pi]]))/(2 (1 + E) \[Pi])

In[10]:= N[%, 20]

Out[10]= -0.20562403655659928968 + 0.*10^-21 I

当然，这个结果很难用数字来验证，但你可能知道我对你的问题所做的更多

编辑2

此编辑是为了在[65]输入中证明计算原始正则化积分的合理性。我们在计算

Sum[ Integrate[ Exp[-x]/Sin[Pi*x], {x, k+eps, k+1-eps}], {k, 0, Infinity}] ==  
  Sum[ Integrate[ Exp[-x-k]/Sin[Pi*(k+x)], {x, eps, 1-eps}], {k, 0, Infinity}] ==
  Sum[ (-1)^k*Exp[-k]*Integrate[ Exp[-x]/Sin[Pi*x], {x, eps, 1-eps}], 
       {k, 0, Infinity}] == 
  Sum[ (-1)^k*Exp[-k], {k, 0, Infinity}] * 
     Integrate[ Exp[-x]/Sin[Pi*x], {x, eps, 1-eps}]

在第三行中，Sin[Pi*（k+x）]==（-1）^k*Sin[Pi*x]表示整数k。

西蒙，我没有花太多时间研究你的积分，但你应该试着看看。这里有一个平滑函数（exp）和一个高振荡函数（sine）。现在所涉及的工作是将

1/sin（x）

转换成

exp（if（x））

或者，您可以使用余割的系列扩展（在极点无效）：

请注意，对于所有

m>-1

，您有以下内容：

In[2]:=Integrate[x^m Exp[-x], {x, 0, Infinity}, Assumptions -> m > -1]
Out[2]=Gamma[1+m]

但是，用余割系数（来自维基百科）对序列求和，不包括

1/x Exp[-x]

情况，它不会收敛于

[0，无穷大]

c[m_] := (-1)^(m + 1) 2 (2^(2 m - 1) - 1) BernoulliB[2 m]/Factorial[2 m];
Sum[c[m] Gamma[1 + 2 m - 1], {m, 1, Infinity}]

也不收敛

所以，我不确定你是否能计算出无穷大积分的近似值，但如果你对一个高达某个大N的解感到满意，我希望这些能有所帮助。

我不得不同意，积分似乎不会收敛。但是，如果排除

x==0

并将积分分解为若干部分

Integrate[Exp[-x]/Sin[Pi x], {x, n + 1/2, n + 3/2}, PrincipalValue -> True]

如果

n>=0&&Element[n，整数]

，那么您可能会得到一个交替序列

I Sum[ (-1/E)^n, {n, 1, Infinity}] == - I / (1 + E )

现在，我只把它取到

n==4

，但它看起来很合理。然而，对于上述

假设->元素[n，整数]&&n>=0的积分，Mathematica给出
If[ 2 n >= 1, - I / E, Integrate[ ... ] ]

这与个别情况不符。另请注意，如果极点位于积分区域的边界处，即您的极限为{x，n，n+1}
，则您只能得到直接有限
s。快速查看该图意味着您在限制{x，n，n+1}
下只有一个严格的正或负被积函数，因此无穷大的值可能是由于{x，n+1/2，n+3/2}
给您的补偿不足。检查{x，n，n+2}
，但是它只会吐出未计算的积分。
仅供参考，如果我尝试不同的工作精度值，我会得到完全不同的结果。我不会得到交替序列。。。而不是一个所有积极的条件（见我的答案上面）。积分扩展为Gamma
函数（不收敛）加上Exp[-x]/x
项的积分，由于原点的奇异性，积分也不收敛。@R.M.，实际上我们使用的是不同的积分区域。我通过从x==1/2
开始并在1个单位范围内的间隔上积分，排除x==0
部分；它的和看起来像一个交替级数，收敛。谢谢。你是对的，x=0点是一个单面极限，不能被另一面平衡。而积分[Exp[-x]/Sin[pix]，{x，n+1/2，n+3/2}，主值->真，假设->n\[元素]整数]

给出了一个复杂的常数时间

（-1/E）^n

。但是这不符合

NIntegrate[Exp[-x]/Sin[pix]，{x，n+1/2，n，n+3/2}，WorkingPrecision->100，MaxRecursion->40]

，它给出的答案高度依赖于

WorkingPrecision

。总而言之，这是一个糟糕的问题/例子。嗨，萨沙，谢谢你在这个问题上所做的所有工作。事实上，我从一位数学家那里得到了这个问题，他说他使用Mma4是因为它有一个包，它比后来内置的支持PrincipleValue数值积分的包提供了更好的支持。他给了我这个例子，现在你让我想得更多了，我同意。。。这不是个好主意！lim x->+0的问题是因为没有相应的lim x->-0来取消磁极。我对[65]中定义

int

的

有一个问题。Sum似乎与其他所有内容无关。。。我认为这会导致你分析的其他部分出现问题——但不是你的结论@[65]中的Simon通过将积分0..inf分解为0+。。1-和1+…2-等等。然后它变成了从eps到1-eps的x的Exp[-k-x]/Sin[Pi*（k+x）]的积分在k上的和。但是Sin[Pi*（k+x）]=（-1）^kSin[Pix]，被积函数变成（-1）^kExp[-k]*Exp[-x]/Sin[Pix]。因此，现在可以像[65]中那样独立地进行求和和和积分。我认为你的问题值得编辑来解释这一步。谢谢R.M.积分是我信任的数学能力的人给我的一个坏例子。。。。在零点有一个极点，我们只取单边极限。这意味着我们不能得到这个极点的主值。。。
Integrate[Exp[-x]/Sin[Pi x], {x, n + 1/2, n + 3/2}, PrincipalValue -> True]

I Sum[ (-1/E)^n, {n, 1, Infinity}] == - I / (1 + E )

If[ 2 n >= 1, - I / E, Integrate[ ... ] ]