不重复布尔表达式用Z3解SAT问题

让我们看看下面的问题：

f（a，b，c，x，y，z）

是一个布尔函数，其中a，b，c，x，y和z是布尔值，f的输出是布尔值。f的定义由许多and/or/nor运算符组成。我想找到一组三个布尔值x0、y0和z0，这样：

f(0, 0, 0, x0, y0, z0) = 0 AND
f(0, 0, 1, x0, y0, z0) = 1 AND
f(0, 1, 0, x0, y0, z0) = 1 AND
f(0, 1, 1, x0, y0, z0) = 0 AND
...
f(1, 1, 1, x0, y0, z0) = 1 # A total of 8 constrains. Each of them is from an entry in the truth table.

一种简单的方法是定义3个布尔变量x、y、z，并重复定义函数

f

8次。但是f由复杂的布尔表达式组成。定义8次可能会破坏模型。此外，事实上，我有7个变量：a，b，c，d，e，f，g。真值表有128个条目

有没有办法定义不属于解决方案的“占位符”变量a、b、c？然后我可以在a，b，c，x，y，z上定义f一次，然后以某种方式将a，b，c“赋值”给布尔常数

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我是SMT解决方案的新手，占位符的想法可能完全不相关。其他解决方案也很受欢迎。

我不清楚您需要模型做什么以及需要多大的灵活性，但这里有一个想法：如果可以通过一个else案例将函数约束在所有参数值上，那么以下可能会起作用：

(declare-fun f (Bool Bool Bool Bool) Bool)

(assert (forall ((x Bool) (y Bool) (z Bool) (p Bool)) (!
  (=
    (f x y z p)
    (ite
      (and (not x) y) true (ite         ; 1. case
      (and (not x) (not y) z) true (ite ; 2. case
      (and x (not y) z) true            ; 3. case
      false))))                         ; else-case
  :pattern ((f x y z p)))))

至少在这个简单的例子中，Z3的模型有效地忽略了函数

f

的不相关的第四个参数：

(check-sat) ;; SAT --> good
(get-model)  
; NOTE: 4th parameter x!3 is declared, but not used
; (model 
;   (define-fun p () Bool
;     false)
;   (define-fun f ((x!0 Bool) (x!1 Bool) (x!2 Bool) (x!3 Bool)) Bool
;     (or (not (or x!0 (not x!1)))
;         (not (or x!1 (not x!2) (not x!0)))
;         (not (or x!1 x!0 (not x!2)))))
; )

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很难准确地理解你想做什么。但在我看来，您关心的是如何轻松地编写代码，而不是其他任何事情。如果是这样，我建议使用一种比SMTLib提供更高级别API的语言进行编程。可以使用许多Z3支持的接口：C、C++、java等，以简化编程任务。 例如，下面是如何使用Python接口编写问题实例的代码：

从z3导入*
原始（a、b、c、x、y、z）的定义：
返回或（[a，b^c，x，y，z]）
x0，y0，z0=Bools（“x0-y0-z0”）
def f（a、b、c）：
返回原始值（a==1，b==1，c==1，x0，y0，z0）
s=解算器（）
s、 加（f（0，0，0）=False）
s、 加（f（0，0，1）=真）
s、 加（f（0，1，0）=真）
s、 加（f（0，1，1）=假）
s、 加（f（1，1，1）=真）
打印（s.check（））
打印（s.model（））

运行时，此选项将打印：

sat
[y0 = False, z0 = False, x0 = False]

当您试图查找时，给您分配到

x0

、

y0

和

z0

这里的想法是使用z3的接口将

f

编码为常规函数。我在python代码中调用了这个函数

fororiginal

。然后我们为原始定义了一个版本的

，我在代码中称之为
f
，它传递最后三个参数的符号值，但前三个参数需要常数

然后，我们只需为每个案例添加约束。按照你的例子，我只添加了上面的5个；当然，你可以加上全部8个

我希望这能让你开始
 关键的一点是，必须使用量词（有各种编码都略有不同）。这样做的问题是，解算器的行为不太可预测，并且通常比无量词编码中的少量
f
副本花费更多的时间。在某些情况下，如果没有“明显”的简化，解算器还将生成所有可能的值组合，您可以手动列出这些值（例如，通过MBQI）。谢谢。我关心的是模型的复杂性，而不是干净的编码。布尔表达式定义了5（或8）次。这正是我所担心的。我不认为模型的复杂性会成为这种规模的问题。如果你使用量词，那么无论如何解决问题肯定会更复杂。我建议您尝试一下，如果您观察到复杂性，请仅处理复杂性。我正在尝试使用最少数量的NOR门构建一个7段显示解码器电路。给定一个4位到7位的布尔函数，它基本上搜索一个等效电路。代码位于。对于
num_gates=13
，它在2分钟后给出unsat。有了更多的门，它运行的时间太长了。